[論文レビュー] An Inequality for Mixed Monge-Ampère measures

Sławomir Dinew|arXiv (Cornell University)|May 7, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般化された混合モンジュ＝アンペール不等式が特異な擬コンパクト自己関数および任意の正の測度に対して成り立つための鋭い条件——多重極的集合上で消失すること——を確立している。測度 $μ$ が多重極的集合上で消失するならば、2つの擬コンパクト自己関数の混合モンジュ＝アンペール積は、$μ$ に関するそれぞれの密度関数の幾何平均を支配することを証明しており、これは古典的な不等式を滑らかでない関数およびルベーグ測度の設定を超えて拡張する。この結果は、おそらく異なるケーラー形式を有するコンpactケーラー多様体に対しても一般化される。

ABSTRACT

We generalize an inequality for mixed Monge-Ampère measures. We also give an example that shows that our assumptions are sharp. The corresponding result in the setting of compact Kähler manifold is also discussed.

研究の動機と目的

• 滑らかな関数およびルベーグ測度の設定から、特異な擬コンパクト自己関数および任意の正の測度への古典的混合モンジュ＝アンペール不等式の一般化を図ること。
• 特異な設定において混合モンジュ＝アンペール不等式の有効性を保証するための測度 $μ$ の最小条件を同定すること。
• 多重極的集合上で消失するという条件が、反例を用いて鋭いことを示すこと。
• 結果を、おそらく異なるケーラー形式を有するコンパクトケーラー多様体の設定に拡張すること。

提案手法

• 証明は、擬コンパクト自己関数の局所的滑らか近似に依拠し、単調減少列におけるモンジュ＝アンペール測度の収束を利用する。
• 主要な不等式は、正定値行列上の行列式の凹性および相加・相乗平均の不等式を用いて導出される。
• 複素平面 $ℂ^2$ 内の区分的線形関数の最大値を用いた反例が構成され、測度が多重極的集合に質量を持つ場合、不等式が成立しないことが示される。
• 勾配像法を用いて面積公式によりモンジュ＝アンペール質量を計算し、原点に集中することを示す。
• 問題を局所座標近傍に還元し、$ℂ^n$ での結果を適用することにより、コンパクトケーラー多様体への結果の拡張がなされる。
• 同じ多様体上に異なるケーラー形式 $α$ と $β$ が存在する場合の一般化が提供され、測度条件が同じであれば混合積不等式が依然成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度 $μ$ が特異な擬コンパクト自己関数に対して混合モンジュ＝アンペール不等式を成り立たせるための条件は何か？
• RQ2 不等式が成り立つために、$μ$ が多重極的集合上で消失するという仮定は必要か？
• RQ3 元々滑らかな関数およびルベーグ測度に対して有効であった古典的混合モンジュ＝アンペール不等式は、一般の測度および特異関数へと拡張可能か？
• RQ4 不等式はコンパクトケーラー多様体上でも有効であり、異なるケーラー形式へと一般化可能か？
• RQ5 多重極的集合は、複素モンジュ＝アンペール方程式の解の一意性において果たす正確な役割は何か？

主な発見

• 測度 $μ$ がすべての多重極的集合上で消失するとき、かつそのときに限り、不等式 $(\operatorname{dd^{c}}u)^k \wedge (\operatorname{dd^{c}}v)^{n-k} \geq f^{k/n}g^{(n-k)/n} d\mu$ が擬コンパクト自己関数 $u,v$ および測度 $\mu$ に対して成り立つ。
• 多重極的集合に質量を持つ測度 $μ$ を用いた反例が構成され、不等式が成立しないことが示され、条件が鋭いことが証明される。
• $u_k$ および $v_k$ の総モンジュ＝アンペール質量が原点に集中し、$(2\pi)^2 \frac{k}{2} \delta_0$ に等しいことが示され、特異な集中を示している。
• 混合積 $\operatorname{dd^{c}}u_k \wedge \operatorname{dd^{c}}v_k$ が $(2\pi)^2 \frac{1}{2k^2} \delta_0$ に等しいことが示され、極限における幾何平均的挙動が確認される。
• コンパクトケーラー多様体上では、測度条件が同じであれば不等式 $(\omega + \operatorname{dd^{c}}u)^k \wedge (\omega + \operatorname{dd^{c}}v)^{n-k} \geq f^{k/n}g^{(n-k)/n} d\mu$ が拡張される。
• 異なるケーラー形式 $\alpha$ と $\beta$ に対しても、$μ$ が多重極的集合上で消失するとき、$(\alpha + \operatorname{dd^{c}}u)^k \wedge (\beta + \operatorname{dd^{c}}v)^{n-k} \geq f^{k/n}g^{(n-k)/n} d\mu$ が成り立つ。