[論文レビュー] An infinite loop space machine for infinity-operads

Gijs Heuts|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、dendroidal集合とE∞-空間の間のQuillen同値性を用いて、∞-operadのための無限ループ空間マシンを構成する。具体的には、E∞におけるdendroidal集合の共変モデル構造とE∞-空間の射影モデル構造との間のQuillen同値性を定義し、その結果、E∞-空間のホモトピー理論が∞-operadのホモトピー理論の左Bousfield局域化として得られることを示す。この結果は、古典的なKan-Quillenモデル構造をdendroidal集合へ一般化するものである。

ABSTRACT

This paper describes a consequence of the more general results of a previous paper which is of independent interest. We construct a functor from the category of dendroidal sets, which models the theory of infinity-operads, into the category of E-infinity-spaces. Applying May's infinite loop space machine for E-infinity-spaces then gives an infinite loop space machine for infinity-operads. We show that our machine exhibits the homotopy theory of E-infinity-spaces as a localization of the homotopy theory of infinity-operads.

研究の動機と目的

• ∞-operadから無限ループ空間を体系的に構成する方法を確立し、古典的な無限ループ空間マシンを∞-operadの文脈へ一般化すること。
• E∞におけるdendroidal集合のスライスカテゴリdSets/E∞に、Kan-Quillenモデル構造をdendroidal集合へ一般化した共変モデル構造を定義すること。
• 得られるE∞-空間のホモトピー理論が、∞-operadのホモトピー理論の左Bousfield局域化であることを示すこと。
• dendroidal集合のE∞上の直線化関手が、Quillen同値性を誘導することを示し、これにより無限ループ空間構造を移行可能にすること。

提案手法

• 終端dendroidal集合のコフイブレンス解体E∞を用いて、可換operadを表す。
• スライスカテゴリdSets/E∞に共変モデル構造を定義し、これは単体的集合におけるKan-Quillenモデル構造をdendroidal集合へ一般化する。
• Lurieの単体的集合に対する直線化の一般化として、E∞上のdendroidal集合から単体的operad hcτd(E∞)の代数への関手を定義する。
• 直線化関手が、dSets/E∞に共変モデル構造を備えたものと、E∞-空間の射影モデル構造を備えたものとの間でQuillen同値性を誘導することを示す。
• 共変モデル構造が、dSets/E∞上のCisinski-Moerdijkモデル構造の左Bousfield局域化であることを証明する。
• 局域化は、内部ホーン埋め込みと木のリーフ挿入を含む生成左アテイン写像の集合によって特徴づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dendroidal集合の枠組みを用いて、∞-operadのための無限ループ空間マシンをどのように構成できるか？
• RQ2 E∞上のdendroidal集合にどのようなモデル構造がE∞-空間のホモトピー理論を実現するか？
• RQ3 E∞上のdendroidal集合からE∞-空間への直線化関手はQuillen同値性をもつのか？
• RQ4 dSets/E∞上の共変モデル構造は、Cisinski-Moerdijkモデル構造とどのように関係するか？
• RQ5 dSets/E∞上の共変モデル構造は、Cisinski-Moerdijkモデル構造の左Bousfield局域化として記述可能か？

主な発見

• dSets/E∞上の共変モデル構造は、Cisinski-Moerdijkモデル構造の左Bousfield局域化であり、生成左アテイン写像の集合によって決定される。
• 直線化関手は、共変モデル構造を備えたdSets/E∞と、射影モデル構造を備えたE∞-空間のカテゴリとの間でQuillen同値性を誘導する。
• 共変モデル構造におけるファイブレント対象は、まさにdendroidal Kan複体であり、これはKan複体をdendroidal設定へ一般化するものである。
• 共変モデル構造は、同型 dSets/η ≅ sSets がモデル構造を保存することにより、古典的なKan-Quillenモデル構造を一般化する。
• 共変モデル構造におけるファイブレント対象は、すべての単項コラが同値であるという性質を満たし、これはその下位の単体的集合がKan複体であることを示唆する。
• E∞-空間のホモトピー理論は、∞-operadのホモトピー理論の局域化として実現され、E∞-空間が∞-operadの∞-圏における完全な部分圏をなすことが確認された。