[論文レビュー] An informal introduction to topos theory

Tom Leinster|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

このトポス理論の直感的入門では、集合、空間、代数的理論の一般化された圏としての初等トポスを提示し、幾何的および代数的理論の分類トポスとしてのその役割に焦点を当てる。すべてのトポスが、群や環などの理論を幾何的同型写像を通じて分類することを示し、主な結果として、群の分類トポスが有限生成群の圏上のプレシェーブ・トポスであることが示される。

ABSTRACT

This short expository text is for readers who are confident in basic category theory but know little or nothing about toposes. It is based on some impromptu talks given to a small group of category theorists.

研究の動機と目的

• 基本的な圏論の知識はあるがトポス理論の背景がほとんどない読者に、トポス理論へのアクセスしやすい、直感的な入り口を提供すること。
• 圏的双対性を通じて、トポスが集合、空間、代数的理論をどのように一般化するかを説明すること。
• 集合論、幾何学、普遍代数学を統合する役割を果たす分類トポスの役割を説明すること。
• 幾何的同型写像とトポス内での代数的理論のモデルとの間の関係を明確にすること。
• すべてのトポスが、プレシェーブ・トポスを主な構成法として用いることで、ある幾何的理論の分類トポスとして実現されることを示すこと。

提案手法

• 部分集合とその特徴関数の対応を示すために、集合の圏を動機づけた例として用いる。
• 有限極限、部分対象分類子、およびカルテジアン閉じた構造を持つ圏として、初等トポスを定義する。
• ヤヌイの補題と引き戻しの概念を用いて、部分対象分類子の普遍性を形式化する。
• 右随伴が有限極限を保存するような随伴関手のペアとして、幾何的同型写像を定義する。
• 集合の圏からトポスへの幾何的同型写像が、理論のモデルに対応することを示し、トポスが理論を分類することを確立する。
• ディアコネスクの定理を適用し、有限極限を保存する関手の分類を、有限極限を持つ圏上のプレシェーブ・トポスが行うことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポス理論は、ZFC よりも実際の数学的実践に近い代替的基礎として集合論をどのように支えることができるか？
• RQ2 トポスを一般化された空間と見なすとすれば、その意味は何か？ そしてこれは、層やグロテンディーク・トポスとどのように関係するか？
• RQ3 トポスが群や体の理論といった代数的理論をどのように分類するのか？
• RQ4 トポスへの幾何的同型写像と、そのトポス内での理論のモデルとの間の正確な対応関係は何か？
• RQ5 すべてのトポスが、ある幾何的理論の分類トポスとして理解可能であり、プレシェーブ・トポスを用いてどのように実現されるか？

主な発見

• 集合の圏は、2要素集合を部分対象分類子とするトポスであり、この構造が部分集合と特徴関数の間の対応を規定している。
• すべての初等トポスは一般化された集合の圏であり、すべてのグロテンディーク・トポスは層の圏である。本稿では前者に焦点を当てる。
• トポスは一般化された空間と見なされ、そのトポスへの幾何的同型写像は点や理論のモデルに対応する。
• 群の理論の分類トポスは、有限生成群の圏上のプレシェーブ・トポスであり、$\mathbf{Set}^{\mathbf{Grp}_{\mathrm{fp}}}$ と表記される。
• 有限極限を持つ任意の小さな圏 $\mathbb{C}$ に対して、プレシェーブ・トポス $\widehat{\mathbb{C}}$ は、$\mathbb{C}$ から他の圏への有限極限を保存する関手を分類する。これはディアコネスクの定理による。
• すべてのトポスは、ある幾何的理論の分類トポスとして現れ、理論とその分類トポスの間の双対性が確立される。