[論文レビュー] An interface-unfitted finite element method for elliptic interface optimal control problem

Chao Yang, Tao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、豊富なカット有限要素を用いたニツェ法を用いて、楕円型界面最適制御問題を解くための新規なメッシュ非適合有限要素法を提示する。解の正則性の異なる仮定のもとで、状態変数、随伴変数、制御変数の両方の $L^2$ 範囲およびエネルギー範囲において最適収束率を達成しており、複雑な界面における数値実験によって検証されている。

ABSTRACT

This paper develops and analyses numerical approximation for linear-quadratic optimal control problem governed by elliptic interface equations. We adopt variational discretization concept to discretize optimal control problem, and apply an interface-unfitted finite element method due to [A. Hansbo and P. Hansbo. An unfitted finite element method, based on Nitsche's method, for elliptic interface problems. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 191(47-48): 5537-5552, 2002] to discretize corresponding state and adjoint equations, where piecewise cut basis functions around interface are enriched into standard conforming finite element space. Optimal error estimates in both $L^2$ norm and a mesh-dependent norm are derived for optimal state, co-state and control under different regularity assumptions. Numerical results verify the theoretical results.

研究の動機と目的

• 不連続な係数と複雑な界面幾何を有する楕円型界面最適制御問題を解く挑戦に応える。
• 界面問題における解の正則性が低いことによるメッシュ生成の困難さと収束率の低下という課題を克服する。
• 計算メッシュを界面に適合させないままでも最適収束を維持できる堅牢な数値スキームを開発する。
• 異なる正則性条件の下で、状態、随伴、制御変数に対する厳密な誤差推定を確立する。
• 多角形および星型界面を用いた数値実験により理論的知見を検証する。

提案手法

• 最適制御問題に変分的離散化を適用し、制御の近似を状態および随伴方程式から分離する。
• ニツェ法に基づく界面非適合有限要素法を用いて、状態および随伴方程式を離散化する。
• 界面近傍で解の特異性を捉えるために、区分的線形カット基底関数を標準有限要素空間に拡張する。
• 要素幾何に依存する安定化パラメータ $\widetilde{C}$ を用いたニツェ型定式化により安定化を実装する。
• ガレルキン近似と整合的な変分定式化を用いて、状態、随伴、制御変数の離散スキームを構築する。
• メッシュ依存ノルムと $L^2$-ノルム誤差解析を用いて、異なる正則性仮定の下での収束率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則性の低い解を有する楕円型界面最適制御問題に対して、界面非適合有限要素法が最適収束率を達成できるか。
• RQ2 安定化パラメータ $\widetilde{C}$ の選択が、CutFEM近似の精度および安定性に与える影響は何か。
• RQ3 解の正則性が制限されている場合（例：$H^{3/2}$ だが $H^2$ ではない）に、状態、随伴、制御変数に対して得られる誤差推定は何か。
• RQ4 五芒星型の界面のような複雑な界面幾何において、この手法はどのように性能を発揮するか。
• RQ5 界面が要素を非整列に貫通する場合でも、この手法は最適収束率を維持できるか。

主な発見

• 解の正則性が $H^{3/2}$ の場合、状態および随伴変数について $L^2$-範囲およびエネルギー範囲で、収束率 $h^{3/2}$ の最適収束率が達成された。
• 制御変数は $L^2(\Gamma)$-範囲で収束率 $h^{1.7}$ を示し、$H^{3/2}$ 正則性下での理論的上限 $h^{1.5}$ を上回っている。
• 多角形界面における数値結果では、状態および共役状態の $L^2$-範囲で2次収束が観察され、$256 \times 256$ メッシュにおける $\|y^* - y_h^*\|_{0} \approx 1.31 \times 10^{-4}$ となった。
• 五芒星型界面では、状態および共役状態場が正確に解像され、数値的界面が正確な界面幾何と一致した。
• $\widetilde{C} = 50$ と $\widetilde{C} = 1000$ で計算された解の差は無視できるほど小さく、安定化パラメータの選択に対して感度が低いことが示された。
• CutFEM法は、従来の手法に比べて収束次数が高く、テストしたすべての誤差範囲で期待を上回る収束率を達成した。