[論文レビュー] An intrinsic formulation for rolling pseudo-Riemannian manifolds

Irina Markina, F. Silva Leite|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、埋め込みに依存せず、僅かに滑らかでない、またはねじれのない回転を、埋め込みに依存しない計量データのみを用いて、内部的に定式化する。配置空間に滑らかな分布を構築し、運動的制約を符号化し、特定の条件下で曲線の因果的性質が保存されることを証明する。リーマン的回転理論を、新しい幾何的特徴を有する擬リーマン多様体の設定に拡張する。

ABSTRACT

In the present work we define the rolling of one pseudo-Riemannian manifold over another without slipping and twisting. We compare the definition of the rolling without slipping and twisting of two manifolds isometrically embedded into a pseudo-Euclidean space with the rolling defined only by the intrinsic data, namely by the metric tensors on manifolds. The smooth distribution on the configuration space, encoding the no-slipping and no-twisting kinematic conditions is constructed. Some results concerning the causal character of the rolling curves are also included. Several examples are presented along the paper to illustrate concepts and help to understand the theoretical results.

研究の動機と目的

• 埋め込みに依存しない、擬リーマン多様体のための厳密な内部的定式化を構築すること。
• 埋め込みに依存しない計量テンソルに基づく内部的回転定義と、擬ユークリッド空間への等長埋め込みに基づく古典的な外部的アプローチの比較。
• 滑らかでない、またはねじれのない運動的制約を符号化する配置空間上の滑らかな分布を構築すること。
• 回転曲線の因果的性質を分析し、その運動中に保存される条件を特定すること。
• 従来のリーマン的回転フレームワークを、不定計量による新しい幾何的現象を明らかにしつつ、擬リーマン的状況に一般化すること。

提案手法

• 埋め込みに依存せず、多様体の計量テンソルのみを用いて回転を定義する内部的アプローチを採用する。
• 構造群が擬正交群 O(μ,ν−μ) に同型である滑らかなファイバー束として配置空間を構築する。
• Christoffel記号と計量の相性を用いて、配置空間上の滑らかな分布として、滑らかでない、またはねじれのない制約を導出する。
• 構造群上の右不変ベクトル場の行列表現を用いて、回転写像の力学を記述する。
• 曲線上に誘導される計量と、基底多様体の因果的構造を比較することで、回転曲線の因果的性質を分析する。
• 行列基底 $E_{ij}$ と符号行列 $J$ を用いて、構造群上の右不変ベクトル場の交換関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 僅かに滑らかでない、またはねじれのない回転を、多様体の計量テンソルのみを用いて、内部的にどのように定式化できるか？
• RQ2 内部的回転定式化と、擬ユークリッド空間への等長埋め込みに基づく古典的外部的定式化との関係は何か？
• RQ3 回転曲線の因果的性質が運動中に保存される条件は何か？
• RQ4 配置空間はファイバー束としてどのように構造化されており、擬正交群はこの構造において果たす役割は何か？
• RQ5 計量が不定計量（擬リーマン的）である場合と正定値計量（リーマン的）である場合とで、回転力学の代数的および幾何的差異は何か？

主な発見

• 内部的回転定式化は、多様体の計量テンソルのみに依存し、周囲の空間への埋め込みに依存しない。
• 滑らかでない、またはねじれのない制約を計量とそのChristoffel記号を用いて符号化する、配置空間上の滑らかな分布が構築された。
• 曲線上に誘導される計量が、基底多様体と同じ因果的タイプ（空間的、時間的、光的）を維持する限り、回転曲線の因果的性質は保存される。
• 回転の配置空間は、自然に滑らかなファイバー束として構造化されており、典型ファイバーは擬正交群 O(μ,ν−μ) に同型である。
• 構造群上の右不変ベクトル場は、行列基底 $E_{ij}$ と符号行列 $J$ を用いて表現され、回転力学の明示的計算が可能になる。
• ベクトル場 $W_{ij}$ の交換関係が導出され、リー代数構造が符号の符号 $\varepsilon_i$ を通じて計量の符号に依存することが示された。