[論文レビュー] An Introduction to Quantum Error Correction

Daniel Gottesman|ArXiv.org|Apr 18, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 25被引用数 78

ひとこと要約

本稿では、安定化子形式を用いた量子誤り訂正を紹介し、特に9キュービットコードを用いて、量子コードがエンタングル状態に論理キュービットを符号化することでビット反転誤りと位相反転誤りを是正できることを示している。また、量子安定化子コードとGF(4)上での古典的符号との間に深い関係を確立し、既存の符号理論を応用することで、誤り率が臨界値未満である場合に信頼性の高い長期的量子計算が可能となる、耐障害性のある量子計算を設計するための閾値を提供している。

ABSTRACT

Quantum states are very delicate, so it is likely some sort of quantum error correction will be necessary to build reliable quantum computers. The theory of quantum error-correcting codes has some close ties to and some striking differences from the theory of classical error-correcting codes. Many quantum codes can be described in terms of the stabilizer of the codewords. The stabilizer is a finite Abelian group, and allows a straightforward characterization of the error-correcting properties of the code. The stabilizer formalism for quantum codes also illustrates the relationships to classical coding theory, particularly classical codes over GF(4), the finite field with four elements.

研究の動機と目的

• 量子計算におけるデコherenceおよびノイズによる量子状態の脆さに対処すること。
• 古典的誤り訂正およびノーコピーテーラムの制限を克服する量子誤り訂正のフレームワークを構築すること。
• 量子安定化子コードとGF(4)上での古典的符号との間の対応関係を確立し、古典的符号理論を量子誤り訂正に応用可能にする。
• ゲート操作および誤り訂正の過程で誤り保護を維持するプロトコルを設計することで、ノイズのあるハードウェア上でも耐障害性のある量子計算を可能にすること。

提案手法

• 安定化子形式を用いて、量子コードを論理的コード空間を安定化するパウリ演算子のアーベル群として記述する。
• ビット反転誤り訂正のための3キュービット繰り返し符号と、位相反転誤り訂正のための符号化に基づく符号を組み合わせることで、9キュービットコードを構築する。
• パウリ演算子 I, X, Y, Z をGF(4)の要素 0, 1, ω², ω にマッピングし、非可換性関係をGF(4)上のシンプレクティック内積に変換する。
• GF(4)における双対符号条件を適用し、安定化子に属さない誤りを検出および是正できることを保証する。
• 既知のGF(4)上での自己双対符号（例：5キュービットコード（GF(4)上でのハミング符号））を活用し、既知の誤り訂正特性を持つ量子符号を構築する。
• 符号の連結（例：7キュービットコードの再帰的符号化）を用いることで、物理的誤り率が臨界値未満である場合に、耐障害性のある量子計算の閾値を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、複製を行わずとも、量子状態をデコherenceおよびノイズから保護できるか？
• RQ2 安定化子形式は、量子誤り訂正符号の特徴付けにどのように寄与するか？
• RQ3 量子安定化子コードとGF(4)上での古典的符号との対応関係が、量子符号の構築をどのように可能にするか？
• RQ4 ノイズのあるゲートおよび誤り訂正操作が存在する中で、どのようにして耐障害性のある量子計算が可能になるか？
• RQ5 連結量子符号が、任意に長い耐障害性のある量子計算を可能にするための閾値誤り率は何か？

主な発見

• 9キュービットコードは、連結構造を用いてビット反転と位相反転の両方の誤りを補正することで、任意の1キュービット誤りを効果的に是正する。
• 安定化子形式により、アーベル群としてのパウリ演算子を用いた量子符号の体系的特徴付けが可能となり、誤り検出および是正が効率的に行える。
• 安定化子コードとGF(4)上での加法的符号の間には1対1の対応関係が存在し、パウリ演算子の可換性がシンプレクティック内積が0であることに相当する。
• 5キュービットコードはGF(4)上でのハミング符号と等価であり、多くの既知の古典的符号が直接的に量子誤り訂正に適応可能であることを示している。
• 誤り率が閾値未満である場合、符号の連結と誤り保護を維持するように設計された論理ゲートの設計により、耐障害性のある量子計算が実現可能である。
• 7キュービットコードや類似の符号を連結することで、物理的誤り率が閾値未満であれば、多対数的オーバーヘッドで任意に長い量子計算が可能となる。