[論文レビュー] An Introduction to Query Order

Edith Hemaspaandra, Lane A. Hemaspaandra+1 more|ArXiv.org|Oct 1, 1999

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 29被引用数 14

ひとこと要約

本論文は計算複雑性におけるクエリ順序の影響を調査し、2つの異なるオракル集合にアクセスする順序が、多項式時間で解ける問題のクラスに影響を与えるかどうかに焦点を当てる。多項式階層ではクエリ順序が常に影響しないことが示され、ブール階層では場合によっては影響する。これは構造的複雑性、ボトルネック計算、完全性クラスに関する洞察を提供する。

ABSTRACT

Hemaspaandra, Hempel, and Wechsung [cs.CC/9909020] raised the following questions: If one is allowed one question to each of two different information sources, does the order in which one asks the questions affect the class of problems that one can solve with the given access? If so, which order yields the greater computational power? The answers to these questions have been learned-inasfar as they can be learned without resolving whether or not the polynomial hierarchy collapses-for both the polynomial hierarchy and the boolean hierarchy. In the polynomial hierarchy, query order never matters. In the boolean hierarchy, query order sometimes does not matter and, unless the polynomial hierarchy collapses, sometimes does matter. Furthermore, the study of query order has yielded dividends in seemingly unrelated areas, such as bottleneck computations and downward translation of equality. In this article, we present some of the central results on query order. The article is written in such a way as to encourage the reader to try his or her own hand at proving some of these results. We also give literature pointers to the quickly growing set of related results and applications.

研究の動機と目的

• 2つのオラクルをクエリする順序が、多項式時間マシンの計算パワーに影響を与えるかどうかを特定すること。
• クエリ順序感受性に関する多項式階層とブール階層の構造的差異を分析すること。
• クエリ順序とボトルネックマシン、アドバイスクラス、完全性タイプなどの他の複雑性理論的概念との関係を探索すること。
• 今後のクエリ順序現象に関する研究を促進する基礎的結果と未解決問題を提供すること。
• クエリ順序と多項式階層の崩壊や、異なる還元における完全性といった、より広範な複雑性の問題とリンクを張ること。

提案手法

• クエリ順序を形式化するため、$\mathrm{P}^{\mathcal{C}:{\mathcal{D}}}$ の表記を用い、クラス $\mathcal{C}$ に属する集合に1回クエリを行い、その後クラス $\mathcal{D}$ に属する集合に1回クエリする多項式時間マシンを表す。
• クエリ順序の概念を多項式階層（$\Sigma_k^p$）およびブール階層（例：$\mathrm{DIFF}_m(\Sigma_k^p)$）のレベルに適用し、その閉包性を分析する。
• 還元と閉包の議論を用いて、$\mathrm{P}^{\Sigma_k^p[1]} = \mathrm{P}^{\Sigma_k^p[2]}$ がブール階層の崩壊を意味することを証明し、クエリ数とクエリ順序が構造的崩壊に与える影響を結びつける。
• 自己指定マシンと入力に依存するアドバイスを用いてクエリ順序クラスを特徴付け、特定の条件下で $\mathrm{P}^{\#P[1]}$ および $\mathrm{P}^{\#P:NP}$ と同等であることを示す。
• Book (1974)、Hartmanis-Immerman-Sewelson (1983, 1985)、Sipser-Yao (1990) の既知の結果に依拠し、クエリ順序の挙動を文脈づける。
• チューリング還元に関して閉じたクラスにおいて、$\leq_m^p$-完全性と $\leq_T^p$-完全性の関係を分析し、NP の特定の閉包においてそれらが常に一致するとは限らないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのオラクルをクエリする順序が、多項式時間で解ける問題のクラスに影響を与えるか？
• RQ2 多項式階層において、クエリ順序は計算パワーの決定要因となるか？
• RQ3 ブール階層において、クエリ順序が異なる計算パワーをもたらす条件は何か？
• RQ4 クエリ順序クラスはアドバイスクラスや自己指定マシンとどのように関係するか？
• RQ5 $\leq_m^p$-完全性と $\leq_T^p$-完全性は、すべての複雑性クラスにおいて常に一致するか、あるいは同時に崩壊するか？

主な発見

• 多項式階層ではクエリ順序が計算パワーに影響しない：すべての $k, m \geq 0$ に対して $\mathrm{P}^{\Sigma_k^p:\Sigma_m^p} = \mathrm{P}^{\Sigma_m^p:\Sigma_k^p}$ が成り立つ。
• ブール階層ではクエリ順序が影響することがある：$\mathrm{P}^{\Sigma_k^p:\Sigma_m^p} \neq \mathrm{P}^{\Sigma_m^p:\Sigma_k^p}$ であるが、多項式階層が崩壊する場合に限る。
• クエリ数の崩壊（$\mathrm{P}^{\Sigma_k^p[1]} = \mathrm{P}^{\Sigma_k^p[2]}$）は、ブール階層の崩壊を意味する：$\mathrm{DIFF}_m(\Sigma_k^p) = \mathrm{coDIFF}_m(\Sigma_k^p)$。
• 正の最終クエリ制限の下で、クエリ順序クラスは $\mathrm{P}^{\#P[1]}$ および $\mathrm{P}^{\#P:NP}$ と同等であり、$\#P$-閉包と関連づけられる。
• $\mathrm{P}^{\mathrm{NP} \cap \mathrm{coNP} : \mathrm{NP}}$ は、NP の強い非決定的閉包を正確に特徴づけ、$\leq_m^p$-および $\leq_T^p$-完全性がそのような閉包において常に一致しないことを示す。
• ボトルネックマシンは、モジュロ演算および量化子に基づく計算を伴う順序クエリモデルを用いて完全に特徴づけられ、長年の未解決問題が解決された。