[論文レビュー] Limits on Efficient Computation in the Physical World

Scott Aaronson|ArXiv.org|Dec 20, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 213被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、衝突問題、局所探索、グラフ同型性などの主要な問題におけるクエリ複雑性の強い下界を証明することで、量子計算の根本的な限界を確立している。これは、量子アドバイスでさえも、量子アルゴリズムがNP完全問題を効率的に解くことができないことを示している。また、量子状態の複雑性理論的分類を導入し、後選択や履歴サンプリングモデルがPPを超える超量子的計算能力をもたらさないことも示している。

ABSTRACT

More than a speculative technology, quantum computing seems to challenge our most basic intuitions about how the physical world should behave. In this thesis I show that, while some intuitions from classical computer science must be jettisoned in the light of modern physics, many others emerge nearly unscathed; and I use powerful tools from computational complexity theory to help determine which are which.

研究の動機と目的

• 衝突問題や局所探索などの基本的な問題におけるクエリ複雑性の強い下界を証明することで、量子計算の限界を厳密に確立すること。
• 非一様な量子アドバイス状態を用いても、量子コンピュータがNP完全問題を多項式時間で解けるかどうかを調査すること。
• 量子計算の物理的実現可能性に対する懸念に対処するため、量子状態の複雑性理論的分類を開発すること。
• 標準量子計算を超えるモデル（例えば、後選択や隠れ変数の履歴をサンプリングを許可するモデル）が、既知の複雑性クラスを超える計算的利点をもたらすかどうかを分析すること。
• 光の有限な速度や局所性といった量子力学の原則が、空間探索におけるグローバーのアルゴリズムの2乗の高速化を保つかどうかを検証すること。

提案手法

• 関係的敵対法を用いて、二変数多項式の次数の上限に還元することで、衝突問題に対するクエリ複雑性の下界Ω(n^{1/5})を証明した。
• トレース距離法と直接積定理を適用し、量子アドバイスを用いた量子探索を分析し、古典的オракルを用いて量子メッセージをシミュレートした。
• 物理的に実現可能な量子状態とショアのアルゴリズムに現れる状態を区別するための「Sure/Shor分離子」の概念を導入した。
• オラクルを用いた量子ブラックボックスモデルを用いて、後選択を用いることでPostBQP = PPを示し、量子複雑性クラスを分離した。
• 振幅増幅と局所性基準を用いて、グラフやグリッド上の空間探索をモデル化し、2次元空間領域においてもグローバーの高速化が成立することを証明した。
• 無作為性と頑健性の公理に基づき、隠れ変数理論（例：フロー理論やシュレーディンガー理論）を定義・分析し、その計算複雑性を研究した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 衝突問題を解くために量子アルゴリズムが必要とする最小クエリ数は何か？また、定数下限を超えて改善可能か？
• RQ2 非一様な量子アドバイス状態の助けを借りても、量子コンピュータがNP完全問題を多項式時間で解けるか？
• RQ3 物理的に実現可能な量子状態と大規模な量子アルゴリズムに現れる状態を区別する複雑性理論的基準（例：「Sure/Shor分離子」）は存在するか？
• RQ4 光の有限な速度や空間的局所性が、空間データベース探索におけるグローバーのアルゴリズムの2乗の高速化に影響を与えるか？
• RQ5 隠れ変数の履歴全体をサンプリングを許可するモデルは、標準量子コンピュータよりも計算能力が高く、もしそうなら既知の複雑性クラスとどのように比較できるか？

主な発見

• 衝突問題を解く任意の量子アルゴリズムは、Ω(n^{1/5})のクエリを必要とし、長年の未解決問題を解決した。これは、暗号ハッシュ関数の破壊におけるブラックボックス量子高速化が存在しないことを示唆している。
• オラクルに関して、量子コンピュータは、量子アドバイスを用いてもNP完全問題を多項式時間で解くことはできない。これは、NPがBQP/qpolyに属さないことを示している。
• n次元ハイパーキューブ上で局所的最小値を見つけるには、Ω(2^{n/4}/n)のクエリが必要であり、これは局所探索に対する新たな古典的下限をもたらす。
• 全ブール関数の量子クエリ複雑性は、Q（証明複雑性）を用いてO(Q^6)で有界であり、量子複雑性と古典複雑性の間のタイトな関係を確立した。
• 量子計算における後選択は、PostBQPという複雑性クラスをもたらし、これはPPと等価である。これにより、PPが共通交差に関して閉じていることの、新たな量子ベースの証明が得られた。
• 隠れ変数の履歴全体をサンプリングを許可するモデルは、標準量子計算よりもわずかに強力であるが、PPを超える能力を持たず、このようなモデルに根本的な限界があることを示唆している。