[論文レビュー] An Invariance Principle for New Weakly Dependent Stationary Models using Sharp Moment Assumptions

Paul Doukhan, Olivier Wintenberger|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2005

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、混合および因果的α-およびβ-弱依存性を越える、より広範な依存条件を導入することで、定常的で弱く依存する系列に対する鋭い弱不変性原理を確立する。混合γ-弱依存性条​​件を導入し、非因果的カップリングを用いることで、4次モーメントを要件としなかった先行研究に比べ、2次より大きなモーメントの下で収束速度を改善する。

ABSTRACT

This paper is aimed at sharpen a weak invariance principle for stationary sequences in Doukhan & Louhichi (1999). Our assumption is both beyond mixing and the causal ?-weak dependence in Dedecker and Doukhan (2003); those authors obtained a sharp result which improves on an optimal one in Doukhan {\it et alii} (1995) under strong mixing. We prove this result and we also precise convergence rates under existence of moments with order >2 while Doukhan & Louhichi (1999) assume a moment of order >4. Analogously to those authors, we use a non-causal condition to deal with some general classes of stationary and weakly dependent sequences. Besides the previously used ?- and ?-weak dependence conditions, we introduce a mixed condition, ?, adapted to consider Bernoulli shifts with dependent inputs.

研究の動機と目的

• 強混合および因果的依存構造を超える、より広いクラスの弱く依存する定常系列への弱不変性原理の拡張。
• Doukhan & Louhichi (1999) が要請した4次モーメントよりも、2次より大きなモーメントの下で収束速度を改善すること。
• ベルヌーイシフトに依存する入力を持つ場合に適した、新たな混合γ-弱依存性条​​件の導入。
• 最小限のモーメント条件の下で、鋭い収束速度を得られる非因果的カップリングフレームワークの確立。

提案手法

• α-およびβ-弱依存性の特徴を組み合わせた、新たなγ-弱依存性条​​件の導入。これにより、ベルヌーイシフトにおける依存する入力プロセスの解析が可能になる。
• 因果的順序を要件としない依存構造の制御のため、非因果的カップリング技術を用いる。
• 収束速度を導出するために、鋭いモーメント仮定（2次より大きなモーメント）を適用し、関数中心極限定理の枠組みで解析する。
• Doukhan & Louhichi (1999) の技術を活用し、それらをより広い弱い依存プロセスのクラスに拡張する。
• カップリングの議論を用いて、部分和とブラウン運動の経路との差を評価し、きめ細かい収束速度を保証する。
• 強混合および因果的弱依存性を厳密に一般化する依存構造の下で不変性原理を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強混合および因果的α-またはβ-弱依存性を超える依存条件のもとで、定常系列に対する弱不変性原理を拡張することは可能か？
• RQ2 4次より大きなモーメントではなく、2次より大きなモーメントの仮定のもとで、不変性原理の収束速度を達成することは可能か？
• RQ3 非因果的カップリングフレームワークは、依存する入力を含む一般の弱い依存系列を扱うためにどのように利用できるか？
• RQ4 依存するイノベーションによって駆動されるベルヌーイシフトを解析するには、どのような新たな依存条件が必要か？
• RQ5 モーメントおよび依存仮定を緩和した場合でも、不変性原理の鋭さを保てるか？

主な発見

• 本稿は、強混合および因果的α-およびβ-弱依存性を一般化する、新たなγ-弱依存性条​​件のもとで、定常系列に対する鋭い弱不変性原理を確立した。
• Doukhan & Louhichi (1999) が要請した4次モーメントよりも、2次より大きなモーメントの仮定のもとで収束速度を導出した。
• 非因果的カップリングフレームワークにより、一般の定常系列、特に依存する入力を有するベルヌーイシフトの解析が可能になった。
• 新たなγ-弱依存性条​​件は、入力プロセスが独立ではない場合に特に適しており、より広範な時系列モデルへの適用可能性を拡張した。
• Doukhan & Louhichi (1999) や Dedecker & Doukhan (2003) の先行研究を、特にモーメントおよび依存仮定の観点で鋭く改善した。
• 本フレームワークは、包括性、モーメント要件、収束速度の精度の観点で、既存の結果を上回る包括的なアプローチを提供する。