[論文レビュー] An invariant approach to dynamical fuzzy spaces with a three-index variable -- Euclidean models

Naoki Sasakura|ArXiv.org|Nov 15, 2005

Tensor decomposition and applications参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、関数の非可換代数的関係を定義する三添え変数 $ C_{ab}^c $ を用いた動的フラグメンテーション空間のテンソルモデルを提案する。一般線形変換（フラグメンテーション一般座標不変性）に対する不変性を課すことにより、下から有界なユークリッド作用が得られ、リー群対称な解が構成される。SO(3)対称解は、その低エネルギーフラクチュエーションスペクトルが、$ f=0 $ および奇数 $ f $ モードを除いた二つの球面のラプラシアンスペクトルと一致することから、フラグメンテーション $ S^2/Z_2 $ と特定される。

ABSTRACT

A dynamical fuzzy space might be described in terms of a dynamical three-index variable C_{ab}^c, which determines the algebraic relations f_a f_b =C_{ab}^c f_c of the functions f_a on a fuzzy space. A fuzzy analogue of the general coordinate transformation would be given by the general linear transformation on f_a. The solutions to the invariant equations of motion of C_{ab}^c can be generally constructed from the invariant tensors of Lie groups. Euclidean models the actions of which are bounded from below are introduced. Lie group symmetric solutions to a class of Euclidean model are obtained. The analysis of the fluctuations around the SO(3) symmetric solution shows that the solution can be regarded as a fuzzy S^2/Z_2.

研究の動機と目的

• 量子重力の候補として、バックグラウンド独立で不変な動的フラグメンテーション空間の定式化を構築すること。
• 基底関数に対する一般線形変換における一般座標不変性をフラグメンテーション空間へ一般化すること。
• リー群の不変テンソルを用いて、モデルの古典的解を構成すること。
• フラクチュエーションスペクトルを通じて、対称解の幾何的解釈を同定すること。
• 連続体極限において、重力に類似した低周波数モードをモデルが支持するかどうかを探索すること。

提案手法

• 関数の代数的関係 $ f_a f_b = C_{ab}^c f_c $ を用いてフラグメンテーション空間を定義し、$ C_{ab}^c $ を動的テンソルとみなす。
• 関数 $ f_a $ に対する一般線形変換に対する不変性を課し、一般相対性理論における一般座標不変性に類似させる。
• リー群の不変テンソルを用いて作用を構成し、作用が下から有界であることを保証する。
• 実数かつ対称な結合定数を有するユークリッドモデルを導入し、安定性を確保する。
• 対称解の周りの二次フラクチュエーションを解析し、有効幾何を抽出する。
• 表現論および6j記号を用いてフラクチュエーションスペクトルを計算し、ナムブ＝ゴールドストーンモードを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般座標変換のフラグメンテーション版に対応する不変性を持つ、動的フラグメンテーション空間を定式化できるか？
• RQ2 リー群不変テンソルを用いて、動的 $ C_{ab}^c $ モデルの古典的解を体系的に構成できるか？
• RQ3 リー群対称解の幾何的解釈は、有効連続体空間の観点からどのように特定できるか？
• RQ4 対称解のフラクチュエーションスペクトルは、$ S^2 $ のような滑らかな多様体の既知のスペクトルを再現するか？
• RQ5 連続体極限において、モデルが重力に類似した低周波数モードを支持するか？

主な発見

• SO(3)対称解は、そのフラクチュエーションスペクトルが二つの球面のラプラシアンスペクトルと一致することから、フラグメンテーション $ S^2/Z_2 $ と特定される。
• フラクチュエーションスペクトルには、ゼロに滑らかに近づく小さな固有値の系列が現れ、$ 0.000195723f(f+1) $ により良好に近似可能であり、連続体的有効幾何を示唆する。
• ゼロモードの数—$ 2j^2 + 7j + 3 $—は、SO(n) から SO(3) への自発的対称性の破れに起因する予想される数と一致し、ナムブ＝ゴールドストーンモード構造を確認する。
• 広いパrameter領域においてフラクチュエーション行列の固有値が非負であるため、解の局所的安定性が保証される。
• スペクトルに $ f=0 $ および奇数 $ f $ モードが欠落しているため、$ S^2/Z_2 $ を完全に一致させるには非自明な場の同一化が必要であると示唆される。
• モデルの作用は下から有界であるため、ユークリッド定式化において物理的整合性が保証される。