[論文レビュー] An invariant of link cobordisms from symplectic Khovanov homology

Jack W. Waldron|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティック・コホモロジー・ホモロジーを用いて、R⁴ 内の滑らかなリンクコボルディズムのファンクター的不変量を構成し、符号の不確かさを除いて、シンプレクティック・コホモロジー・ホモロジー群の間の写像を定義する。これは、非コンパクトな特異集合を持つ正確なモース＝ボット＝レーフシッツ・ファイブレーションへのセイデルの相対的不変量の一般化であり、これらの写像がコボルディズムの同倫的変形に対して不変であることを証明し、シンプレクティック・コホモロジー・ホモロジーにトポロジカルな量子場理論の構造を確立する。

ABSTRACT

Symplectic Khovanov homology is an invariant of oriented links defined by Seidel and Smith and conjectured to be isomorphic to Khovanov homology. I define morphisms (up to a global sign ambiguity) between symplectic Khovanov homology groups, corresponding to isotopy classes of smooth link cobordisms in 4D between a fixed pair of links. These morphisms define a functor from the category of links and such cobordisms to the category of abelian groups and group homomorphisms up to a sign ambiguity. This provides an extra structure for symplectic Khovanov homology and more generally an isotopy invariant of smooth surfaces in 4D; a first step in proving the conjectured isomorphism of symplectic Khovanov homology and Khovanov homology. The maps themselves are defined using a generalisation of Seidel's relative invariant of exact Lefschetz fibrations to exact Morse-Bott-Lefschetz fibrations with non-compact singular loci.

研究の動機と目的

• R⁴ 内の滑らかなリンクコボルディズムのファンクター的不変量を、シンプレクティック・コホモロジー・ホモロジーを用いて定義すること。
• 正確なレーフシッツ・ファイブレーションに対するセイデルの相対的不変量を、非コンパクトな特異集合とモース＝ボットの退化を許容する場合にまで拡張すること。
• シンプレクティック・コホモロジー・ホモロジー上に誘導される写像が、コボルディズムの同倫的変形に対して不変であることを示すこと（符号の不確かさを除く）。
• シンプレクティック・コホモロジー・ホモロジーとコホモロジー・ホモロジーの間の予想される同型写像を証明する第一歩として、前者にファンクター的構造を与えること。

提案手法

• 正確なレーフシッツ・ファイブレーションに対するセイデルの相対的不変量を、非コンパクトな特異集合を持つ正確なモース＝ボット＝レーフシッツ・ファイブレーションに一般化する。
• ホロモルフィック曲線の正則性を保証するため、シンプレクティック関連バンドル上に正則な S¹-可換 almost complex 構造を構成する。
• ファイブレーションのホロモルフィックセクションを用いて、モース＝ボット設定における相対的不変量を定義する。
• リンクコボルディズムを R³×[0,1] 内の同倫的同値類として実現し、一般化された不変量を用いて写像を定義することにより、シンプレクティック・コホモロジー・ホモロジーに応用する。
• 映像移動と同倫的変形（特にスイッチング移動および安定化／不安定化）に対する不変性を証明することで、ファンクター的性質を確立する。
• ブリッジ図とサドルコボルディズムを基本構成要素として用い、合成により一般の滑らかなコボルディズムに対する写像を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック・コホモロジー・ホモロジーは、R⁴ 内の滑らかなリンクコボルディズムに関してファンクター的構造を備えられるか？
• RQ2 セイデルの相対的不変量は、非コンパクトな特異集合とモース＝ボットの退化を扱えるようにどのように拡張できるか？
• RQ3 シンプレクティック・コホモロジー・ホモロジー上に誘導される写像は、コボルディズムの同倫的変形に対して不変であるか（符号の不確かさを除く）？
• RQ4 この構成は、シンプレクティック・コホモロジー・ホモロジーとコホモロジー・ホモロジーの間の予想される同型写像を証明するために用いられるか？
• RQ5 コボルディズムを介して定義された写像は、トポロジカルな量子場理論の公理を満たすか？

主な発見

• 論文は、R³×[0,1] 内の滑らかなリンクコボルディズムの同倫的同値類に対して、符号の不確かさを除いて、シンプレクティック・コホモロジー・ホモロジー群へのwell-definedな写像を構成する。
• 写像は、映像移動（例：10番目と12番目の移動）およびスイッチング移動を含む、コボルディズムの同倫的変形に対して不変であり、図表現の間での一貫性を保証する。
• この構成により、シンプレクティック・コホモロジー・ホモロジーが、リンクと滑らかなコボルディズムの圏から、符号を除いたアーベル群と準同型写像の圏へのファンクター的構造を備えることが証明される。
• 安定化および不安定化写像が符号を除いて互いに逆写像であることが示され、コボルディズムの計算における一貫性が確認される。
• 生成、消滅、サドルコボルディズムに由来する写像は、交差図のシンプレクティック・コホモロジー・ホモロジー上でwell-definedであり、代表曲線の選び方に依存しない。
• 局所的性質に起因して、遠く離れたコボルディズムの交換性が直ちに成立し、不変量のTQFTに類似した振る舞いが確認される。