[論文レビュー] Kuranishi homology and Kuranishi cohomology

Dominic Joyce|ArXiv.org|Jul 24, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 45被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、軌道体およびKuranishi空間のためのKuranishiホモロジーおよびコホモロジー理論を導入し、特異ホモロジーおよびcompactly supportedコホモロジーと同型であることを確立する。これらの理論は、有限な自己同型群を保証するためのゲージ固定データを用いて構成され、well-definedな（コ）ホモロジーと、Gromov–Witten不変量を精緻化し、ラグランジュ的フローアコホモロジーを単純化する新しいボーディズム不変量を可能にする。

ABSTRACT

A Kuranishi space is a topological space with a Kuranishi structure, defined by Fukaya and Ono. Kuranishi structures occur naturally on moduli spaces of J-holomorphic curves in symplectic geometry. Let Y be an orbifold and R a commutative ring or Q-algebra. We define two kinds of Kuranishi homology KH_*(Y;R). The chain complex KC_*(Y;R) defining KH_*(Y;R) is spanned over R by [X,f,G], for X a compact oriented Kuranishi space with corners, f : X --> Y smooth, and G "gauge-fixing data" which makes Aut(X,f,G) finite. Our main result is that these are isomorphic to singular homology. We define Poincare dual Kuranishi cohomology, isomorphic to compactly-supported cohomology. We define five kinds of Kuranishi (co)bordism spanned by isomorphism classes[X,f] for X a compact oriented Kuranishi space without boundary and f : X --> Y smooth. They are new topological invariants, and we show they are very large. These theories are powerful new tools in symplectic geometry. Defining virtual cycles and chains for moduli spaces of J-holomorphic curves is trivial in Kuranishi (co)homology. There is no need to perturb moduli spaces, and no problems with transversality. This gives major simplifications in Lagrangian Floer cohomology. We define new Gromov-Witten type invariants in Kuranishi bordism, over Z not Q. We sketch how these may be used to prove the integrality conjecture for Gopakumar-Vafa invariants. This paper is surveyed in arXiv:0710.5634.

研究の動機と目的

• 軌道体およびKuranishi空間のための新しいホモロジーおよびコホモロジー理論（Kuranishi（コ）ホモロジーおよび効果的Kuranishi（コ）ホモロジー）を定義すること。
• 標準的な（コ）ホモロジー群とは著しく大きい5つの新しいボーディズム理論（Kuranishiボーディズムおよびコボーディズム）を構成すること。
• Kuranishi（コ）ホモロジーを用いてGromov–Witten不変量を精緻化し、ラグランジュ的フローアコホモロジーを単純化するための枠組みを提供すること。
• Kuranishi（コ）ホモロジー群が、軌道体に対して古典的特異（コ）ホモロジーおよびcompactly supportedコホモロジーと同型であることを証明すること。
• ゲージ固定データを用いた（コ）チェーンのバイバリエント理論を確立し、整合性のある積構造とPoincaré双対性を保証すること。

提案手法

• シンプレクティック幾何におけるモジュライ空間をモデル化するため、軌道体および一般化されたコーナーを用いてKuranishi構造を持つKuranishi空間を定義する。
• 自己同型群の有限性を保証し、well-definedな（コ）ホモロジー理論を可能にするために、ゲージ固定データおよびコゲージ固定データを導入する。
• 同値類 [X, f, G] で張られる（コ）チェーン複体 KC∗, KC∗_ec(Y; R) を構成する。ここで X は境界を持つコンパクトで向き付け可能なKuranishi空間、f: X → Y は強く滑らか、G はゲージ固定を提供する。
• Kuranishi空間のファイバー積およびゲージ固定データの引き戻しを用いて（コ）ホモロジー上の積を定義し、交差理論と整合性を保つようにする。
• テント関数および三角形分割技術を用い、Kuranishi（コ）ホモロジーと特異（コ）ホモロジーとの関係を確立し、段階的昇降および変形による議論により同型を証明する。
• Poincaré双対性および向きの規約を用い、Kuranishi理論と古典的理論におけるカップ積、キャップ積、交差積との関係を関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kuranishiホモロジーおよびコホモロジーは、古典的特異ホモロジーおよびcompactly supportedコホモロジーを回復するような方法で定義可能か？
• RQ2 ゲージ固定データは、自己同型群の有限性とKuranishi空間上でのwell-definedな（コ）ホモロジー理論の確立にどのように寄与するか？
• RQ3 Kuranishiボーディズムと古典的ボーディズムの関係は何か？ これらの理論はサイズおよび構造においてどのように比較されるか？
• RQ4 Kuranishi（コ）ホモロジーを用いて、古典的不変量よりも情報量の多いGromov–Witten型不変量を定義可能か？
• RQ5 Kuranishiコホモロジーを用いてラグランジュ的フローアコホモロジーを再定式化することで、技術的単純化および改善された結果を得られるか？

主な発見

• 任意の軌道体 Y および可換環 R に対して、Kuranishiホモロジー KH∗(Y; R) および効果的Kuranishiホモロジー KHef∗(Y; R) は、特異ホモロジー Hsi∗(Y; R) と同型である。
• Y が向き付け可能であるとき、Kuranishiコホモロジー KH∗(Y; R) および効果的Kuranishiコホモロジー KH∗_ec(Y; R) は、compactly supportedコホモロジー H∗_cs(Y; R) と同型である。
• Kuranishiボーディズム群 KB∗(Y; R) および KB∗(Y; R) は、境界を持たないコンパクトで向き付け可能なKuranishi空間 X に関する同型類 [X, f] で張られるため、古典的ボーディズム群よりも著しく大きい。
• Kuranishi（コ）ホモロジーにおけるカップ積、キャップ積、交差積は、明示的なチェーンレベルの構成とホモロジー不変性により、それらの古典的対応物と同型である。
• Kuranishiと古典的（コ）ホモロジーの同型は、テント関数および多様体への変形を含む5段階の昇降および三角形分割プロセスによって確立される。
• この理論は、古典的不変量よりも多くの情報を含むKuranishiボーディズムにおけるGromov–Witten型不変量を支持し、Gopakumar–Vafa不変量の整数性予想の証明に用いることができる。