[論文レビュー] An $O(\log OPT)$-approximation for covering and packing minor models of ${ heta}_r$

Dimitris Chatzidimitriou, Jean‐Florent Raymond+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、二つの頂点がr本の並行辺で接続されたグラフθrのマイナー・モードルを含む頂点および辺のパッキング・カバー問題に対して、O(log OPT)-近似アルゴリズムを提示する。プロトロージョン分解と木分割幅に根ざしたアルゴリズム的手法を用いて、θrをマイナーとして含むグラフのクラスが、O(k log k)のギャップを伴って頂点および辺のErdős–Pósa性質を有することを証明し、一般のrについて、これらの問題の辺バージョンに対する初めての近似アルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

Given two graphs $G$ and $H$, we define $ extsf{v-cover}_{H}(G)$ (resp. $ extsf{e-cover}_{H}(G)$) as the minimum number of vertices (resp. edges) whose removal from $G$ produces a graph without any minor isomorphic to ${H}$. Also $ extsf{v-pack}_{H}(G)$ (resp. $ extsf{v-pack}_{H}(G)$) is the maximum number of vertex- (resp. edge-) disjoint subgraphs of $G$ that contain a minor isomaorphic to $H$. We denote by $ heta_r$ the graph with two vertices and $r$ parallel edges between them. When $H= heta_r$, the parameters $ extsf{v-cover}_{H}$, $ extsf{e-cover}_{H}$, $ extsf{v-pack}_{H}$, and $ extsf{v-pack}_{H}$ are NP-hard to compute (for sufficiently big values of $r$). Drawing upon combinatorial results in [Minors in graphs of large $ heta_r$-girth, Chatzidimitriou et al., arXiv:1510.03041], we give an algorithmic proof that if $ extsf{v-pack}_{ heta_r}(G)\leq k$, then $ extsf{v-cover}_{ heta_r}(G) = O(k\log k)$, and similarly for $ extsf{v-pack}_{ heta_r}$ and $ extsf{e-cover}_{ heta_r}$. In other words, the class of graphs containing ${ heta_r}$ as a minor has the vertex/edge Erd\H{o}s-P\'osa property, for every positive integer $r$. Using the algorithmic machinery of our proofs, we introduce a unified approach for the design of an $O(\log { m OPT})$-approximation algorithm for $ extsf{v-pack}_{ heta_r}$, $ extsf{v-cover}_{ heta_r}$, $ extsf{v-pack}_{ heta_r}$, and $ extsf{e-cover}_{ heta_r}$ that runs in $O(n\cdot \log(n)\cdot m)$ steps. Also, we derive several new Erd\H{o}s-P\'osa-type results from the techniques that we introduce.

研究の動機と目的

• θrのマイナー・モードルの頂点および辺のパッキング・カバー問題に対する効率的な近似アルゴリズムの設計。
• θrのマイナー・モードルに対して、最適なO(k log k)ギャップを伴う頂点および辺のErdős–Pósa性質の確立。
• 木分割幅が有界なグラフクラスに適用可能な、木分割幅およびプロトロージョン分解に基づくアルゴリズム的手法の拡張。
• θr,r′のマイナー・モードルへのErdős–Pósa性質の一般化および辺バージョンのための新しい近似アルゴリズムの提供。
• この手法の他の平面グラフおよびそのマイナー・モードルへのより広範な適用可能性の探求。

提案手法

• プロトロージョン分解を用いて、問題を木分割幅が有界なグラフに還元する。
• 木分割幅が大きいグラフは、k-ウォール、k-ファン、k-パス、またはk-スターマイナーを含むという構造的結果の適用。
• 補題5を用いて、e-coverΘr,r′(G)が小さいグラフの木分割幅を評価し、辺素なΘr,r′-部分分割の存在と関連付ける。
• 定理3を活用して、ギャップ関数f2(h, tk)を介してエッジカバー数とエッジパッキング数を関連付ける。
• v-packθr、v-coverθr、e-packθr、e-coverθrの近似をO(n · log n · m)時間で行う統一されたアルゴリズムの設計。
• θr,r′のマイナー・モードルに対するエッジ-Erdős–Pósa性質の証明を行い、従来のθrに限られた結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のr ≥ 1に対して、θrのマイナー・モードルの頂点および辺のパッキング・カバー問題に対してO(log OPT)-近似アルゴリズムを設計可能か？
• RQ2 θrのマイナー・モードルの場合に、頂点および辺のErdős–Pósa性質の最もタイトなギャップ関数は何か？
• RQ3 θr,r′のマイナー・モードルに対してエッジ-Erdős–Pósa性質は成り立つのか？ そして、近似アルゴリズムの構築に活用可能か？
• RQ4 木分割幅およびプロトロージョン分解に基づくアルゴリズムフレームワークは、θrを越えて他の平面グラフへ一般化可能か？
• RQ5 任意の固定された平面グラフのマイナー・モードルの頂点および辺のパッキング・カバー問題に対して、多項式対数近似が存在するか？

主な発見

• 本稿では、θrをマイナーとして含むグラフのクラスが、O(k log k)のギャップを伴って頂点および辺のErdős–Pósa性質を有することを確立し、既知の下界と一致する。
• v-packθr、v-coverθr、e-packθr、e-coverθrのためのO(log OPT)-近似アルゴリズムを設計し、O(n · log n · m)時間で実行可能である。
• θr,r′（任意のr, r′ ∈ ℕでr′ ≤ rを満たす）のマイナー・モードルに対するエッジ-Erdős–Pósa性質が拡張され、これは以前に知られていなかった結果である。
• 木分割幅が有界なグラフでは、頂点および辺のErdős–Pósa性質が線形ギャップを伴って成り立つことが示され、一般の境界よりも改善されている。
• プロトロージョン分解および木分割幅に基づくアルゴリズム的道具は、θrを超えて一般化可能であることが示され、他の平面グラフクラスへのより広範な適用可能性を示唆している。