[論文レビュー] An open quantum Kirwan map

Chris Woodward, Guangbo Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 49被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアン群作用に関するモーメントマップのゼロレベル集合内のラグランジュ・ブレーンの等長的フクヤ型代数とその商ブレーンのフクヤ型代数の間の同型写像である、オープン量子キルワン写像を構成する。この写像は、ディスクポテンシャルを保存し、Maurer–Cartan解空間への写像を誘導することを証明する。この構成により、トーリック鏡対称性における座標変換に関する予想が検証され、半ファノトーリック多様体に対するオープン鏡像定理の新たな証明が得られる。

ABSTRACT

We construct a morphism from the equivariant Fukaya algebra of a Lagrangian brane in the zero level set of a moment map of a Hamiltonian action to the Fukaya algebra of the quotient brane. This morphism induces a map between Maurer-Cartan solution spaces, and intertwines the disk potentials. As an application, we show under some technical hypotheses that weak unobstructedness of an invariant Lagrangian brane implies weak unobstructedness of its quotient. For semi-Fano toric manifolds we give a different proof of the open mirror theorem of Chan-Lau-Leung-Tseng by showing that the potential of a Lagrangian toric orbit in a toric manifold is related to the Givental-Hori-Vafa potential by a change of variable. We also reprove the results of Fukaya-Oh-Ohta-Ono on weak unobstructedness of these toric orbits. In the case of polygon spaces we show the existence of weakly unobstructed and Floer nontrivial products of spheres.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン群作用に関するモーメントマップのゼロレベル集合内のラグランジュ部分多様体の等長的フクヤ型代数と、その商ブレーンのフクヤ型代数との間の同型写像を確立すること。
• この同型写像が、ディスクポテンシャルを保存し、両代数間のMaurer–Cartan方程式の解を写像することを示すこと。
• 適切な技術的仮定の下で、不変ラグランジュ部分多様体の弱い非遮断性が、その商の弱い非遮断性を誘導することを証明すること。
• オープンキルワン写像を用いて、半ファノトーリック多様体に対するオープン鏡像定理を再証明し、ギヴェンタル–ホリ–バーファポテンシャルとラグランジュフロアポテンシャルとの間の変数変換を関係づけること。
• 多角形空間へと枠組みを拡張し、球面のフロア非自明な積を持つ弱い非遮断性を持つラグランジュ部分多様体の存在を示すこと。

提案手法

• 境界条件としてラグランジュ部分多様体を課した、木構造付きバーテックス（treed vortices）のモジュライ空間を用いて、オープン量子キルワン写像と呼ばれる同型写像を構成する。
• 正規性と可逆性を達成するため、摂動データと一貫性のある摂動系を用いる。
• 横断性とコンパクトネスの議論を適用し、1次元モジュライ空間の構造と境界成分を制御する。
• 重み付き木構造付きディスクとスケーリング極限を用いて、元の空間上の等長的フクヤ型代数とシンプレクティック商上の代数との関係を確立する。
• アフィンバーテックスの局所モデルを実装し、インデックスと次元数え上げを用いてその寄与をポテンシャル関数に分析する。
• トーリック多様体に対して、それらをGIT商として実現し、変数変換を伴うギヴェンタル–ホリ–バーファポテンシャルを用いてポテンシャル関数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、モーメントマップのゼロレベル集合内のラグランジュ部分多様体の等長的フクヤ型代数を、ハミルトニアン群作用によるその商ブレーンのフクヤ型代数と関連付けることができるか？
• RQ2 等長的設定におけるディスクポテンシャルと商設定におけるポテンシャルとの間の明確な関係は何か？
• RQ3 不変ラグランジュ部分多様体の弱い非遮断性が、群作用下でのその商の弱い非遮断性を誘導するか？
• RQ4 幾何的構成による量子キルワン写像を用いて、半ファノトーリック多様体に対するオープン鏡像定理を再証明できるか？
• RQ5 ギヴェンタル–ホリ–バーファポテンシャルとラグランジュフロアポテンシャルとの間の座標変換におけるアフィンバーテックスの役割は何か？

主な発見

• オープン量子キルワン写像は、$A_∞$-代数の間のwell-definedな同型写像として構成され、元のラグランジュとその商のディスクポテンシャルを保存する。
• この写像は、両代数のMaurer–Cartan方程式の解空間の間でwell-definedかつ単射な写像を誘導する。
• 技術的仮定の下で、不変ラグランジュ部分多様体の弱い非遮断性が、その商の弱い非遮断性を誘導し、Fukaya–Oh–Ohta–Onoの結果を拡張する。
• 半ファノトーリック多様体において、Lagrangian Floerポテンシャルが変数変換を介してGivental–Hori–Vafaポテンシャルと関係づけられることを示し、Chan–Lau–Leung–Tsengのオープン鏡像定理を再証明する。
• 鏡像対称性における座標変換が、複素平面および上半平面におけるアフィンバーテックスの数え上げから生じるという予想が、本構成により検証される。
• 多角形空間の場合は、非自明なフロアコホモロジーを持つ弱い非遮断性を持つラグランジュ部分多様体の存在が確立され、本写像がトーリック幾何学を超えた応用可能性が示される。