[論文レビュー] An Optimal Choice of Reference for the Quasi-Local Gravitational Energy and Angular Momentum

Gang Sun, Chiang-Mei Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2013

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、4次元等長マッチングとエネルギー極小化を用いて、軸対称時空における局所的エネルギーおよび角運動量を計算するための最適な参照フレームおよび準キリングベクトルを体系的に決定する手法を提案する。カー・メトリックに対しては、正確で物理的に意味のある結果が得られる：局所的エネルギーはスピンが増加するにつれて減少し、角運動量は正確に $-ma$ となる。境界項が複雑であっても、一貫性と単純さを示している。

ABSTRACT

The boundary term of the gravitational Hamiltonian can be used to give the values of the quasi-local quantities as long as one can provide a suitable evolution vector field and an appropriate reference. On the two-surface boundary of a region we have proposed using {\em four dimensional isometric matching} between the dynamic spacetime and the reference geometry along with energy extremization to find both the optimal reference matching and the appropriate quasi-Killing vectors. Here we consider the axisymmetric spacetime case. For the Kerr metric in particular we can explicitly solve the equations to find the best matched reference and quasi-Killing vectors. This leads to the exact expression for the quasi-local boundary term and the values of our optimal quasi-local energy and angular momentum.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における局所的エネルギーおよび角運動量の定義において、参照幾何の選択に生じる曖昧さを解消すること。
• 2次元境界面上での最適な参照フレームを、等長マッチングとエネルギー最小化を用いて体系的に選択する手順を開発すること。
• 特にカー・メトリックを含む軸対称時空に対して、物理的に意味のある正確な局所的エネルギーおよび角運動量の値を計算すること。
• 提案手法が、境界項が複雑であっても一貫性と単純さを持つ結果（たとえば、定数の角運動量値）をもたらすことを示すこと。

提案手法

• 局所的エネルギーおよび角運動量をハミルトニアン境界項を介して表現するため、共変ハミルトニアン形式を用いる。
• 動的時空と境界面上のミンコフスキー参照幾何との間で4次元等長マッチングを適用し、参照フレームを制約する。
• 残りの2つの自由度を固定するためにエネルギー極小化を課し、最適マッチングの変分原理を導く。
• エネルギー最適化から導かれる一階非線形常微分方程式系を解き、カーに類似したメトリックに対して解析的解が得られることを示す。
• カーに類似した時空の対称性を活かすためにボイヤー＝リンデューブルク座標を用い、埋め込みと最適化のプロセスを簡略化する。
• 最適な参照および準キリングベクトルを用いて境界項 $\mathcal{B}(N)$ を評価することで、局所的エネルギーおよび角運動量を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元境界面上での参照幾何を、物理的に意味のある方法で局所的エネルギーおよび角運動量を定義するために、どのように最適に選択できるか？
• RQ2 局所的エネルギーおよび角運動量の値が座標の選択や幾何的曖昧さに依存しない条件は何か？
• RQ3 エネルギー極小化原理と等長マッチングを組み合わせることで、カー時空に対して一貫性があり正確な結果を得られるか？
• RQ4 境界項が複雑であるにもかかわらず、カー時空の局所的角運動量がなぜ定数 $-ma$ に単純化されるのか？

主な発見

• カー・メトリックに対して、最適な局所的エネルギーはスピンパラメータ $|a|$ の減少関数であることが判明した。
• カー・メトリックの局所的角運動量は正確に $-ma$ であり、境界項が複雑であっても、単純で物理的に満足のいく結果である。
• エネルギー極小化手順により導かれる一階常微分方程式系は、カーに類似したメトリックに対して自明な解析的解を持つことを示し、ボイヤー＝リンデューブルク座標における一定 $r$ 表面が特別な幾何的意義を持つことを示唆している。
• 最適な時間的ベクトル場は超曲面に直交しており、静止観測者に対応しており、物理的整合性を支持する。
• ミンコフスキー時空に対しては、この手法は正しくゼロの局所的エネルギーおよび角運動量を返し、整合性を確認した。
• この手法は、シュヴァルツシルト・メトリックに対して古くから知られたブラウン＝ヨークエネルギーを再現し、カー時空のゆっくり回転する極限においてマルティネスの結果とも一致した。