[論文レビュー] Existence of standard splittings for conformally stationary spacetimes

Miguel Ángel Javaloyes, Miguel Sánchez|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、完備な時間的コンフォーマルキリング場 K を持つ時空 (M, g) が、K に関してグローバル標準分解を許容するための必要十分条件が、その時空が区別可能（distinguishing）であることであることを確立している。これは因果的連続性を示唆する。証明は、時間関数の滑らか化および時間関数の存在に関する最近の進展に依拠しており、コンフォーマル定常時空構造における長年の問題を解決する。

ABSTRACT

Let (M, g) be a spacetime which admits a complete timelike conformal Killing vector field K. We prove that (M, g) splits globally as a standard conformastationary spacetime with respect to K if and only if (M, g) is distinguishing (and, thus causally continuous). Causal but non-distinguishing spacetimes with complete stationary vector fields are also exhibited. For the proof, the recently solved “folk problems” on smoothability of time functions (moreover, the existence of a temporal function) are used.

研究の動機と目的

• 完備な時間的コンフォーマルキリング場をもつ時空がグローバル標準コンフォーステーショナリースプリットを許容するための必要十分条件を特定すること。
• 特に、区別可能および因果的連続性といった因果的構造の役割が、このようなスプリットの存在に与える影響を明確にすること。
• コンフォーラル定常時空において長年未解決であった問題（「民話的問題（folk problems）」）である、時間関数の滑らか化および時間関数の存在に関する問題を解決すること。
• 因果的ではあるが区別可能でない、完備な定常ベクトル場をもつ時空の具体例を構成し、主要定理の鋭さを示すこと。

提案手法

• 完備な時間的コンフォーマルキリング場 K の存在を、基礎的な幾何的構造として用いる。
• 時間関数の滑らか化および時間関数の存在に関する最近の結果を応用し、グローバルな正則性条件を確立する。
• 特に区別可能および因果的連続な時空の定義とその意味を用いた因果的構造理論を適用する。
• K が誘導するコンフォーラル幾何を分析し、(M ≅ ℝ × Σ) という形のスプリット構造と標準的な計量形を導出する。
• 区別可能でないが因果的な時空の反例を構成することで、区別可能条件の必要性を示す。
• 微分幾何的技法およびコンフォーラル変換を用い、問題を既知の時間関数に関する結果に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完備な時間的コンフォーマルキリング場をもつ時空が、グローバル標準コンフォーステーショナリースプリットを許容するための条件は何か？
• RQ2 区別可能性は、このようなスプリットの存在にとって必要かつ十分であるか？
• RQ3 時間関数の滑らか化に関する最近の進展は、コンフォーラル定常時空の幾何的構造とどのように関係するか？
• RQ4 因果的ではあるが区別可能でない、完備な定常ベクトル場をもつ時空を構成できるか？また、それらはスプリット定理の限界をどのように明らかにするか？
• RQ5 時間関数に関する「民話的問題（folk problems）」は、コンフォーラル定常時空の分類にどの程度影響を及ぼすか？

主な発見

• 完備な時間的コンフォーマルキリング場 K をもつ時空 (M, g) がグローバル標準コンフォーステーショナリースプリットを許容するための必要十分条件は、その時空が区別可能であることである。
• 区別可能条件は、グローバル標準スプリットの存在にとって必要かつ十分であり、鋭い構造的基準を確立する。
• 因果的ではあるが区別可能でない、完備な定常ベクトル場をもつ時空が存在することを示し、因果性だけではスプリットが成立しないことを実証する。
• 時間関数の滑らか化および時間関数の存在に関する「民話的問題（folk problems）」の解決は、主定理の証明に不可欠である。
• この結果により、因果的連続性がこの文脈において区別可能性と同値であることが確認され、これらの因果的条件の幾何的意義が強化される。
• 証明により、コンフォーラル定常時空は、K をコンフォーラルキリング場として用いた因果的および幾何的構造によって完全に特徴づけられることが示された。