[論文レビュー] An optimal quantum algorithm to approximate the mean and its application for approximating the median of a set of points over an arbitrary distance

Gilles Brassard, Frédéric Dupuis+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、アダミット推定を用いてブラックボックス関数の平均を近似する漸近的に最適な量子アルゴリズムを提示する。誤差境界は O(1/t) で、O(t√N log N) のクエリで達成される。この手法を応用して、任意の距離関数に基づく点集合の中央値を近似する量子アルゴリズムを開発し、古典的手法の O(N²) の複雑度を O(t√N log N) の評価に低減した。成功確率は 2/3 以上である。

ABSTRACT

We describe two quantum algorithms to approximate the mean value of a black-box function. The first algorithm is novel and asymptotically optimal while the second is a variation on an earlier algorithm due to Aharonov. Both algorithms have their own strengths and caveats and may be relevant in different contexts. We then propose a new algorithm for approximating the median of a set of points over an arbitrary distance function.

研究の動機と目的

• 量子平均推定の既知の下界と上界のギャップを埋めるために、漸近的に最適なアルゴリズムを構築すること。
• 距離が任意のブラックボックス関数で与えられる点集合の中央値を近似する量子アルゴリズムを開発すること。
• アダミット推定と最小値探索の技術を組み合わせ、中央値計算において古典的手法よりも2乗の高速化を達成すること。
• 中央値近似の文脈において、2つの異なる量子平均推定アルゴリズムの性能のトレードオフを分析すること。

提案手法

• アダミット推定を用いて、t 回のクエリ後に誤差が O(1/t) で抑えられる、平均推定のための漸近的に最適な量子アルゴリズム mean1 を提案する。
• アハロノフのアルゴリズムの変種である mean2 を導入し、特定の文脈では利点を示す可能性があるが、誤差境界はやや不正確である。
• すべての点に対して同時に高い確率で精度を保証するため、平均推定の信頼性を高めるためにメジャリティアルゴリズム（定理 2.5）を適用する。
• Dürr と Høyer の量子最小値探索アルゴリズムを用いて、平均距離が最小となる点を特定する。
• 平均推定（mean1 もしくは mean2 を用いて）と最小値探索を組み合わせ、中央値をスーパポジション状態で計算し、その後測定する。
• 各点から他のすべての点への距離関数の平均を推定するためにアダミット推定を用い、その中で最小の平均を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラックボックス関数の平均を近似する量子アルゴリズムは、漸近的に最適性を達成できるか？
• RQ2 実際の応用において、mean1 と mean2 の誤差とクエリ複雑度はどのように比較されるか。また、それぞれがどのような文脈で優れているか？
• RQ3 平均推定における量子高速化を活用して、任意の距離関数のもとで中央値計算のためのサブ2乗の量子アルゴリズムを達成できるか？
• RQ4 データ分布と距離構造の特性が、中央値探索アルゴリズムの性能に与える影響は何か？

主な発見

• 提案された mean1 アルゴリズムは、O(t√N log N) のクエリで誤差境界を O(1/t) に抑え、平均推定の既知の下界と上界のギャップを埋めている。
• mean1 を用いた中央値探索アルゴリズムは、距離オракルを O(t√N log N) 回評価し、|dj − dmin| ∈ O(1/t) を満たす点 j を、確率 2/3 以上で出力する。
• mean2 を使用する場合、誤差境界は O(∑i=1ℓ √mi · 2−i) となり、t に依存しない O(N log N) 回の評価で十分である。
• 中央値アルゴリズムの成功確率は 2/3 以上であり、最小値探索の 3/4 の成功確率とメジャリティアンプリフィケーションステップを組み合わせた結果である。
• 一般に任意の距離関数を想定した場合、中央値計算の古典的 O(N²) 複雑度に対して、本アルゴリズムは2乗の量子高速化を達成している。
• 中央値アルゴリズムの性能は、その平均推定サブルーチンの動作に依存しており、それらはデータ分布と距離構造に依存する。