[論文レビュー] Quantum Amplitude Amplification and Estimation

Gilles Brassard, Peter Høyer+2 more|May 15, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 545

ひとこと要約

この論文は、成功振幅が未知である場合でも、マークされたアイテムをデータベース内で見つける際に二次的加速を達成する、グローバーのアルゴリズムの一般化である量子振幅増幅を導入する。さらに、振幅推定を発展させることで、最適な量子近似カウントを可能にし、誤差εに対してO(1/√ε)クエリで解の数を高い精度で推定する手法を提供する。

ABSTRACT

Consider a Boolean function $χ: X o \{0,1\}$ that partitions set $X$ between its good and bad elements, where $x$ is good if $χ(x)=1$ and bad otherwise. Consider also a quantum algorithm $\mathcal A$ such that $A |0 angle= \sum_{x\in X} α_x |x angle$ is a quantum superposition of the elements of $X$, and let $a$ denote the probability that a good element is produced if $A |0 angle$ is measured. If we repeat the process of running $A$, measuring the output, and using $χ$ to check the validity of the result, we shall expect to repeat $1/a$ times on the average before a solution is found. *Amplitude amplification* is a process that allows to find a good $x$ after an expected number of applications of $A$ and its inverse which is proportional to $1/\sqrt{a}$, assuming algorithm $A$ makes no measurements. This is a generalization of Grover's searching algorithm in which $A$ was restricted to producing an equal superposition of all members of $X$ and we had a promise that a single $x$ existed such that $χ(x)=1$. Our algorithm works whether or not the value of $a$ is known ahead of time. In case the value of $a$ is known, we can find a good $x$ after a number of applications of $A$ and its inverse which is proportional to $1/\sqrt{a}$ even in the worst case. We show that this quadratic speedup can also be obtained for a large family of search problems for which good classical heuristics exist. Finally, as our main result, we combine ideas from Grover's and Shor's quantum algorithms to perform amplitude estimation, a process that allows to estimate the value of $a$. We apply amplitude estimation to the problem of *approximate counting*, in which we wish to estimate the number of $x\in X$ such that $χ(x)=1$. We obtain optimal quantum algorithms in a variety of settings.

研究の動機と目的

• 均一なスーパポジションを超えて、未知の成功振幅を持つ任意の量子アルゴリズムへとグローバーの量子探索アルゴリズムを一般化すること。
• 成功確率が未知である場合でも、古典的探索よりも二次的加速を達成する振幅増幅の手法を開発すること。
• 振幅推定を用いて、マークされたアイテムの数を推定することで、最適な量子近似カウントアルゴリズムを設計すること。
• 振幅増幅と振幅推定を組み合わせたフレームワークを提供し、既知の古典的ヒューリスティクスを持つ広範なクラスの探索問題を解くこと。
• 誤差を有界に保ちながら、近似カウントの最適なクエリ複雑度を達成し、推定値の信頼性を保証すること。

提案手法

• 反射に基づくプロセス（グローバーの拡散に類似）を用いて、反復的に重ね合わせ状態におけるマークされた状態の振幅を増幅するユニタリ変換としての振幅増幅を導入する。
• グローバー反復を適用して良い状態の振幅を増幅し、古典的場合のO(1/a)回の呼び出しを量子的にはO(1/√a)回に削減する。
• 成功確率aを推定するために、振幅増幅演算子の制御版を用いた位相推定を用いて振幅推定を発展させる。
• 位相推定と角度θ = arcsin(√a)との関係を用い、精度εでaを推定するためのO(1/ε)クエリを実現する。
• 振幅推定と制御された振幅増幅フレームワークを組み合わせることで、適応的クエリスケジューリングを用いて近似カウントアルゴリズムを構築する。
• ハイブリッドアプローチを採用：√(N/(t+1))と√((N−t)/εN)の推定値を組み合わせ、最終的なカウントを修正されたCountアルゴリズムで行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 振幅増幅は、均一なスーパポジションを超えて、未知の成功振幅を持つ任意の量子アルゴリズムへ一般化可能か？
• RQ2 成功確率が未知である場合、ブール関数の解の数を推定するための最適な量子クエリ複雑度は何か？
• RQ3 振幅推定を用いて、誤差を有界に保ちつつ最小限のクエリオーバーヘッドで最適な近似カウントを達成できるか？
• RQ4 良い解を見つけるために、期待されるクエリ回数の観点で、振幅増幅は古典的繰り返しサンプリングと比べてどう異なるか？
• RQ5 振幅推定を用いた量子近似カウントにおいて、精度とクエリ複雑度のトレードオフは何か？

主な発見

• 振幅増幅は二次的加速を達成し、古典的場合に必要なO(1/a)回からO(1/√a)回に期待される呼び出し回数を削減する。
• 成功振幅aが未知であっても、期待値においてO(1/√a)のスケーリングを維持する。
• aが既知の場合、最悪ケースでもO(1/√a)回の呼び出しで良い解を発見でき、既知の最良の境界と一致する。
• 振幅推定により、精度εで成功確率aをO(1/ε)クエリで推定でき、高信頼性の近似カウントを可能にする。
• 近似カウントアルゴリズムは、期待されるクエリ複雑度がO(S′)で、成功確率が2/3以上となる。ここでS′は最適境界のΘである。
• 最終的なアルゴリズムは、|t̃ − t| ≤ εtを確率>2/3で満たす推定値t̃を出力し、近似カウントにおける最適な誤差スケーリングを達成する。