[論文レビュー] An optimal result for global classical and bounded solutions in a two-dimensional Keller-Segel-Navier-Stokes system with sensitivity

Jiashan Zheng|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2019

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ひとこと要約

本稿は、テンソル値の感受性と飽和を有する2次元 Keller-Segel-Navier-Stokes系に対して、最初の最適なグローバル古典的かつ有界解の結果を確立する。著者らは、$\int_{\Omega} n^{1+\alpha} + \int_{\Omega} |\nabla c|^2$ を含む新しいエネルギー関数を導入し、一般の滑らかな有界領域においてすべての $\alpha > 0$ に対してグローバル存在性と有界性を証明した。これにより、従来の凸性要件が不要となり、以前の結果が拡張された。

ABSTRACT

This paper deals with a boundary-value problem for a coupled chemotaxis-Navier-Stokes system involving tensor-valued sensitivity with saturation $$\left\{ \begin{array}{l} n_t+u\cdot abla n=Δn- abla\cdot(nS(x,n,c) abla c),\quad x\in Ω, t>0, c_t+u\cdot abla c=Δc-c+n,\quad x\in Ω, t>0,\\ u_t+κ(u \cdot abla)u+ abla P=Δu+n abla ϕ,\quad x\in Ω, t>0,\\ abla\cdot u=0,\quad x\in Ω, t>0, \end{array} ight.$$ which describes chemotaxis-fluid interaction in cases when the evolution of the chemoattractant is essentially dominated by production through cells, where $κ\in \mathbb{R},ϕ\in W^{2,\infty}(Ω)$ and $S$ is a given function with values in $\mathbb{R}^{2 imes2}$ which fulfills $$|S(x,n,c)| \leq C_S (1 + n)^{-α}$$ with some $C _S > 0$ and $α\geq 0.$ If $α>0$ and $Ω\subseteq \mathbb{R}^2$ is a {\bf bounded} domain with smooth boundary, then for all reasonably regular initial data, a corresponding initial-boundary value problem for $(KSNF)$ possesses a global classical solution which is bounded on $Ω imes(0,\infty)$. This extends a recent result by Wang-Winkler-Xiang (Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa-Classe di Scienze. XVIII, (2018), 2036--2145) which asserts global existence of bounded solutions under the constraint $Ω\subseteq \mathbb{R}^2$ is a bounded {\bf convex domain} with smooth boundary. Moreover, we shall improve the result of Wang-Xiang (J. Diff. Eqns., 259(2015), 7578--7609), who proved the possibility of global and bounded, in the case that ${\bfκ\equiv0}$ and $α>0$. In comparison to the result for the corresponding fluid-free system, the {\bf optimal condition} on the parameter $α$ for both {\bf global existence} and {\bf boundedness} are obtained.

研究の動機と目的

• テンソル値の感受性を有する2次元 Keller-Segel-Navier-Stokes系の古典的解のグローバル存在性と有界性を確立すること。
• 従来の研究で要請されていた領域の凸性を排除し、一般の滑らかな有界領域へ結果を拡張すること。
• グローバル有界解のための最適な閾値 $\alpha > 0$ を特定すること。これは、流体なしのケースにおける臨界指数と一致する。
• 細胞密度と化学求心性勾配の間の相互作用を捉える新しいエネルギー関数的汎関数を開発すること。

提案手法

• 新しいエネルギー関数：$\int_{\Omega} n^{1+\alpha} + \int_{\Omega} |\nabla c|^2$ を導入。これは細胞密度と化学求心性勾配の減衰を捉える。
• 感受性関数 $S(x,n,c)$ が $|S| \leq C_S(1+n)^{-\alpha}$ を満たす $\varepsilon$-依存の切り詰めを用いた正則化近似系を用いる。
• エネルギー関数から得られる事前推定を用いて、成長を制御し、$L^p$ およびソボレフノルムにおける一様有界性を保証する。
• 放物型シュードシュレーディンガー理論とストークス系の古典的 $L^p$ 評価を用いて、弱解を古典的解に昇格する。
• $\varepsilon_j \searrow 0$ の極限手続きを用いて、正則化解から元の系の古典的解へ移行する。
• コンパクト性およびドミニエーテッド収束を用いて $u_\varepsilon$ と $\nabla c_\varepsilon$ の強収束を確立し、極限が古典的意味で系を満たすことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元 Keller-Segel-Navier-Stokes系にテンソル値の感受性を有する場合、グローバル古典的かつ有界解を得るための感受性減衰指数 $\alpha$ の最適条件は何か？
• RQ2 凸領域に限らない一般の滑らかな有界領域へ、グローバル存在性と有界性の結果を拡張できるか？
• RQ3 細胞密度と化学求心性勾配の相互作用を制御し、爆発を防ぐ適切なエネルギー関数的汎関数は存在するか？
• RQ4 流体の対流が、流体なしの Keller-Segel モデルと比較して、臨界閾値 $\alpha_*$ にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 任意の $\alpha > 0$ に対して、系は $\Omega \times (0,\infty)$ 上で一意のグローバル古典的解を有し、一様に有界である。これは非凸な滑らかな有界領域に対しても成立する。
• Wang-Winkler-Xiang (2018) の結果は凸性を要請していたが、本稿では一般の滑らかな有界領域へグローバル有界性を拡張した。
• 新しいエネルギー関数 $\int_{\Omega} n^{1+\alpha} + \int_{\Omega} |\nabla c|^2$ は、一様推定の導出と有界性の保証において中心的な役割を果たす。
• 流体なしのケースにおける臨界指数 $\alpha_* = 1 - \frac{2}{N}$ が、2次元のナビエ-ストークス結合系においても最適閾値として回復された。
• 解 $(n,c,u)$ は古典的であり、ある $\theta \in (0,1)$ に対して $n, c, u \in C^{2+\theta,1+\theta/2}_{\text{loc}}(\bar{\Omega} \times (0,\infty))$ を満たし、滑らかさが保証される。
• 圧力 $P$ は $C^{1,0}(\bar{\Omega} \times (0,\infty))$ に属し、古典的解構造が完全に完成する。