[論文レビュー] An Optimal Separation of Randomized and Quantum Query Complexity

Alexander A. Sherstov, Andrey A. Storozhenko+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、意思決定木のフーリエ係数に対するタイトなバウンドを証明することで、確率的および量子クエリ複雑性の間の最適な分離を確立した。これにより、誤差有界の量子クエリ複雑性 $k$ と確率的クエリ複雑性 $ ilde{ Omega}(n^{1-1/(2k)})$ を持つ部分的ブール関数の構成が可能になった。この結果は、アーロンソンとアーマインス、およびブラヴィーらによる理論的限界と一致し、長年の未解決問題を解決した。

ABSTRACT

We prove that for every decision tree, the absolute values of the Fourier coefficients of a given order $\ell\geq1$ sum to at most $c^{\ell}\sqrt{\binom{d}{\ell}(1+\log n)^{\ell-1}},$ where $n$ is the number of variables, $d$ is the tree depth, and $c>0$ is an absolute constant. This bound is essentially tight and settles a conjecture due to Tal (arxiv 2019; FOCS 2020). The bounds prior to our work degraded rapidly with $\ell,$ becoming trivial already at $\ell=\sqrt{d}.$ As an application, we obtain, for every integer $k\geq1,$ a partial Boolean function on $n$ bits that has bounded-error quantum query complexity at most $k$ and randomized query complexity $ ildeΩ(n^{1-\frac{1}{2k}}).$ This separation of bounded-error quantum versus randomized query complexity is best possible, by the results of Aaronson and Ambainis (STOC 2015) and Bravyi, Gosset, Grier, and Schaeffer (2021). Prior to our work, the best known separation was polynomially weaker: $O(1)$ versus $Ω(n^{2/3-ε})$ for any $ε>0$ (Tal, FOCS 2020). As another application, we obtain an essentially optimal separation of $O(\log n)$ versus $Ω(n^{1-ε})$ for bounded-error quantum versus randomized communication complexity, for any $ε>0.$ The best previous separation was polynomially weaker: $O(\log n)$ versus $Ω(n^{2/3-ε})$ (implicit in Tal, FOCS 2020).

研究の動機と目的

• ブール関数における有界誤差量子クエリ複雑度と確率的クエリ複雑度の最大分離可能性の理解におけるギャップを埋めること。
• タール（2019年、FOCS 2020）が提起した、高階係数における意思決定木のフーリエ重みに関する予想を解明すること。
• 量子クエリ複雑度と確率的クエリ複雑度の最適トレードオフを達成する部分的ブール関数を構築すること。
• 結果を通信複雑度に拡張し、量子と確率的通信複雑度の間で最適な分離を達成すること。

提案手法

• 意思決定木の $\ell$-次フーリエ係数に対するタイトな上界を証明：$\ell \geq 1$ に対して $\sum |\hat{f}(S)| \leq c^\ell \sqrt{\binom{d}{\ell} (1+\log n)^{\ell-1}}$ が成り立つ。ここで $d$ は木の深さ、$c$ は絶対定数である。
• このフーリエバウンドを用いて、フォーリョーション問題およびその一般化、特に $k$-fold forrelation 関数 $f_{n,k,U}$ を分析する。
• 誤差低減技術と集中性の議論を適用し、一様分布および構造的分布の下での受容確率を、意思決定木のフーリエバイアスに関連付ける。
• 異なる入力分布の下での意思決定木の期待出力を比較することで、確率的クエリ複雑度の下界を導出。この際、フーリエ係数バウンドを活用する。
• 得られた複雑度のギャップを基に、量子複雑度 $k$ および確率的複雑度 $\tilde{\Omega}(n^{1-1/(2k)})$ を持つ部分的ブール関数を構築する。
• 同じ関数を二者間通信の設定に適用することで、通信複雑度への拡張を図り、$O(\log n)$ 量子 vs. $\Omega(n^{1-\varepsilon})$ 確率的通信複雑度の最適分離を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$ ビットのブール関数に対して、有界誤差量子クエリ複雑度と確率的クエリ複雑度の間で、最大でどの程度の分離が可能か？
• RQ2 高階相互作用のクエリ複雑度に与える影響を捉えるために、意思決定木のフーリエ係数をどのようにバウンドできるか？
• RQ3 $k$-fold forrelation 問題は、クエリモデルにおける最大の既知の量子スピードアップを達成する最適な候補であるか？
• RQ4 量子と確率的クエリ複雑度の間の分離を、最適パラメータを有する通信複雑度へ拡張できるか？

主な発見

• 論文は、意思決定木の $\ell$-次フーリエ係数に対するタイトなバウンドを確立した：$\sum |\hat{f}(S)| \leq c^\ell \sqrt{\binom{d}{\ell} (1+\log n)^{\ell-1}}$。これはタール（2019年、FOCS 2020）の予想を解決するものである。
• 有界誤差量子クエリ複雑度 $k$ および確率的クエリ複雑度 $\tilde{\Omega}(n^{1-1/(2k)})$ を持つ部分的ブール関数を構築し、対数要因を除いて最適な分離を達成した。
• アーロンソンとアーマインス（STOC 2015）およびブラヴィーら（2021）の先行結果により、より大きなギャップは不可能であることが確認されており、この分離は最適である。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、有界誤差量子通信複雑度 $O(\log n)$ と確率的通信複雑度 $\Omega(n^{1-\varepsilon})$ のほぼ最適な分離が達成された。
• 以前の最良の分離（Tal, FOCS 2020）は、$O(1)$ 対 $\Omega(n^{2/3-\varepsilon})$ であり、本結果はその多項式的改善である。
• 入力分布の影響と確率的アルゴリズムにおける誤差伝搬の精密な制御を可能にする、意思決定木へのフーリエ解析の新規応用に依拠している。