[論文レビュー] An Uncertainty Principle For Completely Positive Maps

Jeremy Levick|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、完全正値（CP）写像における不確定性原理を確立し、相補的量子チャネルの構造をその相関行列の独立性マトロイドと結びつける。このマトロイドにおけるサイクルが双対チャネルの部分代数的構造を支配することを示し、量子チャネルの相補性と演算子系における線形従属の間の深い双対性を明らかにする。

ABSTRACT

We present an "uncertainty principle" for quantum channels, showing a relationship between the dimensions of the range of a channel and the range of its complement. We examine some interesting specific cases, and discuss consequences for privacy of quantum channels.

研究の動機と目的

• 完全正値写像に適用可能な量子不確定性原理を発展させ、従来の観測可能量を超えて概念を拡張すること。
• Kraus作用素から導かれる相関行列の独立性マトロイドを用いて、相補的量子チャネルの構造的制約を特徴づけること。
• Choi行列のグラムベクトルにおける線形従属が、双対チャネルの最小射影への像が特定のブロック成分で等しい固有値を持つことに関与する仕組みを同定すること。
• 相関行列のマトロイドにおけるサイクルと、双対チャネルの双対可換代数内の特定の部分代数の等価性との間の対応関係を確立すること。

提案手法

• CP写像とそのChoi行列との間のChoi-Jamiolkowski同型を用い、Kraus作用素の構成に固有値分解を適用する。
• Stinespring拡張を用いて相補的チャネルΦᶜを定義し、Φᶜ(X) = (Tr⊗Id)(U(X⊗E₁₁)U*)とし、ΦのKraus作用素からΦᶜのKraus作用素を導出する。
• 相補的チャネルのChoi行列を、vᵢvⱼ*の形をしたランク1のブロックからなるブロック行列として表現し、aᵢⱼ = ⟨vᵢ,vⱼ⟩を要素とする相関行列Aを構成する。
• ブロック行列に対するSchur補行列解析を適用し、正定値性の必要条件を導出し、非対角ブロックがランク1で、主ベクトルと整合している必要があると結論づける。
• 相関行列Aの独立性マトロイドを導入し、独立集合は列ベクトルの線形独立性に対応し、サイクルは最小の線形従属部分集合を表す。
• マトロイドにおけるインデックス集合がサイクルを形成する場合、双対チャネルΦᶜ†の任意の最小射影の像が、対応するブロック成分で等しい固有値を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Choi行列のグラムベクトルにおける線形従属は、相補的チャネルの構造にどのような制約を課えるか？
• RQ2 相関行列の独立性マトロイドは、双対チャネルの部分代数的構造を決定づける役割を果たすか？
• RQ3 双対チャネルの最小射影への像が、特定のブロック部分集合において等しい固有値を持つブロック対角作用素を生じる条件は何か？
• RQ4 CP写像の不確定性原理は、Choi行列、Kraus作用素、および相補的チャネルの相互作用を通じてどのように現れるか？

主な発見

• Choiの定理により、完全正値写像のChoi行列が正定値であることは、写像が完全正値であることと同値である。
• CP写像のKraus作用素は、そのChoi行列の正規直交固有ベクトルを用いたベクトル化およびブロック分解処理により導出可能である。
• トレース保存CP写像の相補的チャネルΦᶜもトレース保存であり、Φᶜ(X) = ∑ᵢⱼ Tr(Kⱼ*KᵢX)EᵢⱼとしてKraus作用素の重なりを用いて表現可能である。
• 相補的チャネルのChoi行列の非対角ブロックがaᵢⱼvᵢvⱼ*の形をしている場合、要素aᵢⱼを持つ相関行列Aのランクは、元のChoi行列のランクに等しい。
• 相関行列Aの独立性マトロイドにおけるサイクルは、双対チャネルΦᶜ†が最小射影を写像する際に、サイクルに属するブロック成分で等しい固有値を持つ作用素を生成する最小集合に対応する。
• 部分代数Φᶜ†(MD(Φᶜ†))が双対可換代数S′′_Φに等しいことは、マトロイドのサイクルが最小射影の像における線形従属を制御する場合に限る。