[論文レビュー] An unconditionnally stable pressure correction scheme for compressible barotropic Navier-Stokes equations

Thierry Gallouët, Laura Gastaldo+2 more|Oct 16, 2007

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、非適合混合有限要素法と有限体積法を組み合わせた分離時間積分法を用いた圧縮性バロトropicナビエ＝ストークス方程式に対する、条件なしに安定な圧力補正スキームを提示する。このスキームは、離散エネルギーおよび最大原理に基づく推定値が連続問題の事前限界と一致することを保証し、移流作用素および圧力仕事のための新しい離散安定性証明により、時間刻み幅に依存しない安定性を達成する。

ABSTRACT

We present in this paper a pressure correction scheme for barotropic compressible Navier-Stokes equations, which enjoys an unconditional stability property, in the sense that the energy and maximum-principle-based a priori estimates of the continuous problem also hold for the discrete solution. The stability proof is based on two independent results for general finite volume discretizations, both interesting for their own sake: the $L^2$-stability of the discrete advection operator provided it is consistent, in some sense, with the mass balance and the estimate of the pressure work by means of the time derivative of the elastic potential. The proposed scheme is built in order to match these theoretical results, and combines a fractional-step time discretization of pressure-correction type to a space discretization associating low order non-conforming mixed finite elements and finite volumes. Numerical tests with an exact smooth solution show the convergence of the scheme.

研究の動機と目的

• 時間刻み幅に依存しない、非反復的な圧力補正スキームを、圧縮性バロトropicナビエ＝ストークス方程式に適用する。
• 離散解が連続問題と同一の事前推定値（密度の正値性、エネルギーおよび粘性散逸の有界性）を満たすことを保証する。
• 非圧縮性および圧縮性の両相が共存する流れの高精度なシミュレーションを可能とし、特に気泡を伴う流れを含む原子力安全分野の応用に適する。
• 特に弾性ポテンシャルおよび移流作用素のための、連続エネルギー恒等式の離散類似形を用いた安定性の理論的基盤を構築する。
• 圧縮性流れスキームにおける時間刻み幅に依存しない安定性のための、画期的で堅牢なフレームワークを提供し、将来的なアルゴリズム拡張の道筋を示す。

提案手法

• 時間積分法として分離ステップ法を採用し、運動量方程式および連続の式を予測ステップと補正ステップに分割する。
• 空間離散化において、速度と圧力に低次の非適合混合有限要素法を適用し、質量保存およびフラックス再構築には有限体積法を組み合わせる。
• 質量保存との整合性を満たす条件下で、移流作用素のL²安定性が証明され、運動量輸送の安定性が保証される。
• 離散的弾性ポテンシャルの時間微分を用いて圧力仕事の有界性を評価し、時間刻み幅に制限のないエネルギー安定性を実現する。
• 外力項に対して特別な数値積分技術を用い、離散勾配構造を保存するとともに一貫性を確保する。
• 非圧縮性極限においては古典的プロジェクション法に還元され、安定性および一貫性が維持されるように設計されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧縮性バロトropicナビエ＝ストークス方程式に対して、時間刻み幅に依存しない安定性を有する圧力補正スキームを構築可能か？
• RQ2 有限体積法の文脈において、質量保存との整合性を保ちながら、移流作用素の離散的安定化はどのように実現可能か？
• RQ3 弾性ポテンシャルの離散的時間微分を用いて、圧力がなす仕事の有界性を保証することでエネルギー安定性を達成可能か？
• RQ4 完全離散化下でも、密度の正値性、運動エネルギーおよび内部エネルギーの有界性、粘性散逸の保存といった、主要な事前推定値が保持されるか？
• RQ5 このフレームワークは、完全陰解法や密度の予測ステップを含まないスキームへと拡張可能か？

主な発見

• 本スキームは時間刻み幅に依存しない安定性を達成：連続問題のすべての事前推定値（密度の正値性、エネルギーおよび粘性散逸の有界性）が、時間刻み幅にかかわらず離散解においても保持される。
• 滑らかな正確解を用いた数値実験では、速度および圧力誤差について時間方向に1次収束が得られ、空間方向ではL²ノルムにおいて2次収束が確認された。
• 速度および圧力誤差は、空間離散化のレベルに一致する水準でプラトーに達しており、これは大規模な時間刻み幅において時間誤差が支配的であることを示している。
• プラトー領域より小さな時間刻み幅では、収束率が時間方向に概ね1次であることが確認され、スキームの時間精度が裏付けられた。
• 離散的弾性ポテンシャル恒等式および移流作用素の安定性が、時間刻み幅に依存しない安定性を実現するための主要な理論的道具であることが証明された。
• 非圧縮性極限においても安定性が維持され、インフラス不等式を満たす混合有限要素ペアを用いた古典的プロジェクション法に還元される。