[論文レビュー] An upper bound for the Waring rank of a form

Joachim Jelisiejew|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Tensor decomposition and applications参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、同次多項式のオープン・ワーリングランクを導入し、それまでの結果を改善する新たな上界を確立する。3変数3次形式のオープン・ワーリングランクが5未塔であることを示唆することで、$n,d \geq 3$ に対して $inom{n+d-2}{d-1} - \binom{n+d-6}{d-3}$ という上界を導出し、これにより古典的ワーリングランクに対するこれまでで最も良い既知の上界が得られる。

ABSTRACT

In this paper we introduce the open Waring rank of a form of degree d in n variables and prove the that this rank in bounded from above by \binom{n+d-2}{d-1} - \binom{n+d-6}{d-3} whenever n, d >= 3. This proves the same upper bound for the classical Waring rank of a form, improving the result of [BBS] and giving, as far as we know, the best upper bound known.

研究の動機と目的

• オープン・ワーリングランクの概念を導入・形式化し、特定のザリスキ閉部分空間を避けるように線形形式を制限する、古典的ワーリングランクの改良版を提示する。
• 同次多項式の古典的ワーリングランクに対する既知の上界を改善する。
• 3変数3次形式（$n=d=3$）のオープン・ワーリングランクが正確に5であることを証明し、この場合の上界を厳密化する。
• 以前の研究で用いられたものと類似したが、より強いランクバリアントに適応可能な再帰的不等式を確立する。
• 上界の一般性条件を満たさない形式の集合が閉じていることを示し、その結果、すべての形式に一般化可能な摂動法を適用可能にする。

提案手法

• 形式 $F$ を、$S_1$ の真のザリスキ閉部分集合 $V \subset S_1$ に属さない $d$ 次の線形形式の $d$ 乗の和として表すために必要な最小個数として、オープン・ワーリングランク $\mathrm{Ork}(F,V)$ を定義する。
• すべての形式 $F$ が $n$ 変数に本質的に依存する場合の $\mathrm{Ork}(F,V)$ の上界の上限を $\mathrm{Ork}(n,d)$ と定義する。
• 微分作用素とアポラジー理論を用いて、$n,d \geq 3$ に対して再帰的不等式 $\mathrm{Ork}(n,d) \leq \mathrm{Ork}(n-1,d) + \mathrm{Ork}(n,d-1)$ を証明する。
• ベルティーニの定理および $\mathbb{P}^2$ 内の完全交差の性質を用いて、$V((F^\perp)_2) = \emptyset$ ならば、3次形式に対して $\mathrm{Ork}(F,V) \leq 4$ であることを示す。
• クリッペの分類を用いて例外的形式（$V((F^\perp)_2)$ が空でないもの）を特徴付ける：$x_0x_1^2 + x_1x_2^2$ または $x_0^3 + g$（$g \in k[x_1,x_2]_3$）。
• 摂動法を適用する：任意のこのような例外的形式 $F$ に対して、ある線形形式 $l$ が存在し、$F + l^3$ が $\mathrm{Ork}(F,V) \leq 4$ を満たす一般集合に属する。これにより $\mathrm{Ork}(F,V) \leq 5$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同次形式の古典的ワーリングランクに対する、$d$ 次 $n$ 変数形式の最良の可能な上界は何か？
• RQ2 オープン・ワーリングランクの概念は、従来の再帰的アプローチよりもタイトな上界を提供できるか？
• RQ3 3変数3次形式の正確なオープン・ワーリングランク値は何か？
• RQ4 アポラジー・イデアル内の基本的集合が空でない形式（例外的形式）は、オープン・ワーリングランク枠組み内でどのように振る舞うか？
• RQ5 非一般形式の集合は位相的に制御可能か？ これにより、一般形式に対する上界をすべての形式に拡張できるか？

主な発見

• オープン・ワーリングランク $\mathrm{Ork}(3,3)$ は正確に5であり、[BBS] よりも以前の6という上界を厳密に改善する。
• 形式 $x_0x_1^2 + x_1x_2^2$ の古典的ワーリングランクは5であり、3変数3次形式の場合の極値性を確認する。
• オープン・ワーリングランクは $n,d \geq 3$ に対して再帰的不等式 $\mathrm{Ork}(n,d) \leq \mathrm{Ork}(n-1,d) + \mathrm{Ork}(n,d-1)$ を満たし、初期値は $\mathrm{Ork}(2,d) = d$ および $\mathrm{Ork}(n,2) = n$ である。
• 形式 $F$ に対して $V((F^\perp)_2) \neq \emptyset$ であるようなものの集合は、$n$ 変数に本質的に依存する形式の空間において閉じている。これにより摂動法が適用可能になる。
• すべての $n,d \geq 3$ に対して不等式 $\mathrm{Ork}(n,d) \leq \binom{n+d-2}{d-1} - \binom{n+d-6}{d-3}$ が成り立ち、以前の上界 $\binom{n+d-2}{d-1}$ よりも改善されている。
• 著者に知る限り、本稿の新しい上界は、形式の古典的ワーリングランクに対する、これまでで最も良い既知の上界である。