[論文レビュー] Analogs of the van der Waerden and Tverberg conjectures for haffnians

Shmuel Friedland|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2011

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、対称的で対角成分がゼロの双確率的行列（Ψ₂ₙ と表記）に対するhaffnianのvan der WaerdenおよびTverberg予想の類似を提示する。k=2の場合、一様行列 1/(2n−1)A(K₂ₙ) がΨ₂ₙ 上でのk-haffnian関数の局所最小化子であることを示し、この場合に予想が成立することを証明するが、n が大きいときk=nでは成立しない。主な貢献は、双曲的多項式および混合微分不等式を用いたhafₖ(B) に対する下界の確立である。

ABSTRACT

We discuss here analogs of van der Waerden and Tverberg permanent conjectures for haffnians on the convex set of matrices whose extreme points are symmetric permutation matrices with zero diagonal.

研究の動機と目的

• 双確率的行列のpermanentに関するvan der WaerdenおよびTverberg予想を、対角成分がゼロの対称行列のhaffnianへと拡張すること。
• 対称的で双確率的かつ対角成分がゼロの行列の凸集合Ψ₂ₙを定義・特徴づけ、その極点が対角成分がゼロの対称置換行列であることを示すこと。
• 特に、一様行列 1/(2n−1)A(K₂ₙ) がhafₖ(B) を最小化するかどうかを検討する。
• 微分幾何学および双曲的多項式理論を用いて、Ψ₂ₙ 上でのhafₖ(B) の臨界点構造を解析すること。

提案手法

• Ψ₂ₙ を、対称的で双確率的かつ対角成分がゼロの行列の集合と定義し、式 (1.2) に示されるエッジ奇集合不等式によって特徴づける。
• haffnian hafₖ(B) を、辺重みがBで与えられる完全グラフK₂ₙにおける重み付きkマッチングの和として定義する。
• Gurvits (2009) が示した混合微分不等式を含む双曲的多項式理論を適用し、hafₖ(B) の下界を導出する。
• 恒等式 hafₖ(F) = (1/k)∑_{i<j} f_{ij} haf_{k−1}(F[[2n]\{i,j}]) を用い、一様行列 C=1/(2n−1)A(K₂ₙ) の周りで hafₖ(B+Y) をテイラー展開する。
• 制約 Y1=0 の下で展開の一次項が消えることを示し、C が臨界点であることを示す。
• C におけるhafₖのヘッセ行列が接空間Φ₂ₙ上で正定値であることを証明し、k=2 の場合にC が局所最小化子であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのk=2,…,n に対して、一様行列 1/(2n−1)A(K₂ₙ) はΨ₂ₙ 上でのk-haffnian関数 hafₖ(B) の最小化子であるか？
• RQ2 すべてのB∈Ψ₂ₙ に対して、hafₖ(B) ≥ hafₖ(1/(2n−1)A(K₂ₙ)) が成り立ち、等号は一様行列でのみ成立するか？
• RQ3 k および n がどのような値のとき、この予想は失敗し、その構造的要因は何か？
• RQ4 双曲的多項式理論を用いて、Ψ₂ₙ 上でのhafₖ(B) に対して非自明な下界を導出可能か？
• RQ5 n→∞ のとき、最小k-haffnian値 μₖ,ₙ の漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• k=2 の場合、一様行列がΨ₂ₙ 上でのhaf₂(B) の厳密な局所最小化子であるため、予想 hafₖ(B) ≥ hafₖ(1/(2n−1)A(K₂ₙ)) が成立する。
• B∈Ψ₂ₙ で正固有値がちょうど一つのとき、hafₙ(B) ≥ (n−1)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾ / nⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾ ≈ e⁻ⁿ√e が成り立ち、n が大きい場合の漸近近似式 (2.6) が得られる。
• k=2,…,n−1 の場合、Gurvits (2009) の定理3.1（双曲的多項式の混合微分に関するもの）を用いて、下界 (2.7) が導出される。
• 一様行列Cにおけるhafₖのヘッセ行列は接空間Φ₂ₙ上で正定値であり、k=2,…,n のすべてのkに対してC が厳密な局所最小化子であることが確認される。
• k=n かつ n が大きい場合、構造的反例により予想は失敗することが示されている。
• hafₖ(1/(2n−1)A(K₂ₙ)) の値は、K₂ₙにおけるkマッチングの個数に 1/(2n−1)ᵏ を乗じたものとして明示的に計算可能であり、これは既知の組合せ的量である。