[論文レビュー] Analogue of the identity Log Det = Trace Log for resultants

A. Yu. Morozov, Sh. Shakirov|ArXiv.org|Apr 29, 2008

Neural Networks and Applications参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、行列式の対数の行列トレースへの等式 log det = trace log を、結果式へ一般化し、一般化されたシフト作用素のべきのトレースを用いて、多次元結果式の多項式公式を導出する。主な貢献は、結果式 $ R_{r_1,\ho_2,\ho_3} $ をトレースのシュール多項式として表現することであり、これにより、たとえ $ R_{2,2,2} $ のように21,894項を含む高次元系であっても、経路和表現や積分公式を通じて明示的な計算が可能になる。

ABSTRACT

Resultant $R_{r_1, ..., r_n}$ defines a condition of solvability for a system of $n$ homogeneous polynomials of degrees $r_1, ..., r_n$ in $n$ variables, just in the same way as determinant does for a system of linear equations. Because of this, resultants are important special functions of upcoming non-linear physics and begin to play a role in various topics related to string theory. Unfortunately, there is a lack of convenient formulas for resultants when the number of variables is large. To cure this problem, we generalize the well-known identity Log Det = Trace Log from determinants to resultants. The generalized identity allows to obtain explicit polynomial formulas for multidimensional resultants: for any number of variables, resultant is given by a Schur polynomial. We also give several integral representations for resultants, as well as a sum-over-paths representation.

研究の動機と目的

• 多次元結果式の明示的多項式公式が不足している、特に2変数を超える系に対して、その不足を補うこと。
• 行列式の非線形版としての結果式を用いて、線形系におけるよく知られた等式 $ \log \det = \operatorname{trace} \log $ を非線形系へ拡張すること。
• 特に $ R_{2,2,2} $ のような結果式に対して、一般化されたシフト作用素のべきのトレースを用いて、構成的かつ計算可能な表現を提供すること。
• 結果式がトレースのシュール多項式として表現されることを確立し、非線形代数幾何学および物理学における新しい代数的構造を提示すること。
• 結果式の積分表現および経路和表現を導出し、新たな計算的・物理的応用を可能にすること。

提案手法

• 同次多項式に作用する一般化されたシフト作用素を導入することで、恒等式 $ \log \det(I - f) = \operatorname{trace} \log(I - f) $ を結果式へ一般化する。
• 一般化されたシフト作用素のべきのトレースとして定義される $ T_k $ を導入し、これらがシステムの係数の対称関数として機能することを示す。
• 結果式 $ R_{r_1,\dots,r_n} $ を、対称多項式および表現論の構造を用いて、トレース $ T_k $ のシュール多項式として表現する。
• シュール多項式を格子路上の生成関数として解釈することで、結果式の経路和表現を導出する。
• 非線形相互作用項を含むガウス型関数積分にシステムを埋め込むことで、結果式の行列積分表現を構築する。
• 結果式同士の再帰的関係を用いて、係数の多項式であるトレース $ T_k $ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数非線形系における行列式から結果式へ、恒等式 $ \log \det = \operatorname{trace} \log $ を一般化できるか？
• RQ2 たとえば $ R_{2,2,2} $ のような多次元結果式に対して、一般化された作用素のべきのトレースを用いて多項式公式が得られるか？
• RQ3 結果式はトレースのシュール多項式として表現可能であり、その代数的構造にどのような意味を持つのか？
• RQ4 結果式の積分表現および経路和表現は何か？ これらは計算や物理的解釈をどのように促進するか？
• RQ5 結果式の再帰的構造を用いて、トレース $ T_k $ を体系的に計算し、結果式を再構成する方法は何か？

主な発見

• 結果式 $ R_{2,2,2} $ は、トレース $ T_k $ のシュール多項式として表現され、$ T_k $ の12項の簡潔な公式を有するが、結果式自体は21,894の単項式を含む。
• 一般化されたシフト作用素により、入力多項式の係数の対称多項式であるトレース $ T_k $ が構成可能であり、これらトレースがシュール多項式を通じて結果式を生成する。
• 結果式 $ R_{2,2,2} $ は、明示的に $ \{ -T_k/k \} $ の多項式として計算され、3つの二次形式の係数の12次同次多項式が得られる。
• 経路和表現により、結果式が格子路上の生成関数としての組合せ的解釈が可能となり、量子力学におけるファインマン経路積分に類似する。
• 非ガウス的相互作用項を含む関数積分に結果式を埋め込むことで、行列積分表現が導出され、非線形系へのガウス積分のアプローチを一般化する。
• 直接展開による項数の指数的増加を回避するため、トレースと対称多項式によるコンactな代数的表現に結果式を符号化することで、本手法は成功を収めた。