[論文レビュー] Analysis and synthesis of attractive quantum Markovian dynamics

Francesco Ticozzi, Lorenza Viola|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2008

Quantum Information and Cryptography参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、不変かつ吸引的量子部分系を用いて、魅力的な量子マーチンゲール的動的を分析・合成する一般枠組みを提示する。クラソフスキー＝ラサール不変性原理およびリャプノフ安定性理論を応用することで、可制御な純粋状態および部分空間の代数的特徴付けが得られ、有限次元系におけるオープンループハミルトニアンおよび出力フィードバック制御則の構成的設計が可能になる。

ABSTRACT

We propose a general framework for investigating a large class of stabilization problems in Markovian quantum systems. Building on the notions of invariant and attractive quantum subsystem, we characterize attractive subspaces by exploring the structure of the invariant sets for the dynamics. Our general analysis results are exploited to assess the ability of open-loop Hamiltonian and output-feedback control strategies to synthesize Markovian generators which stabilize a target subsystem, subspace, or pure-state. In particular, we provide an algebraic characterization of the manifold of stabilizable pure states in arbitrary finite-dimensional Markovian systems, that leads to a constructive strategy for designing the relevant controllers. Implications for stabilization of entangled pure states are addressed by example.

研究の動機と目的

• 目的の量子状態または部分空間を安定化する、マーチンゲール的量子動的を分析・合成するための一般系理論的枠組みの構築。
• 特に純粋状態およびエンタングルド状態に注目し、マーチンゲール的時間発展下で量子部分系が不変かつ吸引的である条件の特定。
• 散逸的動的を用いて所望の量子状態を安定化可能な、オープンループハミルトニアンおよび出力フィードバックを用いた構成的制御戦略の提供。
• ノイズレスおよび吸引的部分系に関する既存結果を、より広い有限次元マーチンゲール生成子のクラスへと拡張する。
• 集団測定および設計されたフィードバックハミルトニアンを用いて、エンタングルド純粋状態（例：ベル状態）をマーチンゲール的設定で安定化可能であることを実証する。

提案手法

• 量子ダイナミカルセミグループのヒレ＝ヨシダ生成子形式を用い、マーチンゲール的時間発展をリンドブラッドマスター方程式としてモデル化する：$ \dot{\rho} = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho] + \sum_k \gamma_k \mathcal{D}(L_k, \rho) $。
• クラソフスキー＝ラサール不変性原理を適用し、部分空間内における最大不変集合を特徴づけることで、吸引的部分空間の特定を可能にする。
• 生成子のヒルベルト空間上での作用の構造を線形代数的アプローチで分析し、純粋状態の吸引性に関する条件を同定する。
• リャプノフ安定性理論を用いて、目標状態への吸引性に関する明示的条件を導出する。その際、目標状態からの距離に基づくリャプノフ関数を用いる。
• 目標状態が与えられた部分空間内で一意の吸引状態となるように、フィードバックハミルトニアンおよび測定演算子を構成的に設計する手法を開発する。
• 目標状態が対角となる基底に問題を変換し、対称性の考察（例：スピン-SU(2)不変性）を用いて制御則設計を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元量子系におけるどの純粋状態および部分空間が、マーチンゲール的動的下で吸引可能となるか？
• RQ2 与えられたマーチンゲール生成子下で、量子部分系が不変かつ吸引的であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 散逸的動的を用いて目標純粋状態を安定化可能となるように、オープンループハミルトニアンおよび出力フィードバック制御戦略を体系的に設計する方法は何か？
• RQ4 集団測定および設計されたフィードバックハミルトニアンを用いて、マーチンゲール的設定下でエンタングルド純粋状態（例：ベル状態）を安定化可能か？
• RQ5 対称性および不変性は、多量子ビット系の安定化制御則設計において果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、任意の有限次元マーチンゲール的系における可制御な純粋状態の多様体を完全に代数的に特徴づけ、体系的な制御則合成を可能にする。
• 目標純粋状態が吸引的であるための必要十分条件として、その直交補空間内における最大不変部分集合が自明であること（スペクトル解析によりテスト可能）が確立される。
• 2量子ビットの三重項部分空間において、フィードバックハミルトニアン $ F' $ および測定演算子 $ M' = J_x $ を用いることで、最大にエンタングルされたベル状態 $ \rho_d = \frac{1}{2}(|01\rangle + |10\rangle)(\langle 01| + \langle 10|) $ が一意の吸引状態となるように可能である。
• 構成された制御則（$ H_c' = J_z $、$ M' = J_x $、$ F' = \frac{1}{\hbar}(J_z J_y + J_y J_z) $）により、$ J=1 $ 部分空間内において $ \rho_d $ が一意の吸引状態であることが保証される。
• $ \rho_d $ の吸引性は、直交補空間 $ \mathcal{H}_{R'} = \text{span}\{ \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle - |11\rangle) \} $ 内で唯一の不変状態が $ J_z $ の固有状態でないことを示すことで確認される。これにより不変性が破られる。
• 結果として、一意の吸引状態はモデルパラメータに対して連続的に依存することが示され、微小摂動に対してロバストであることが支持されるが、有限帯域幅および検出効率を考慮した完全なフィードバックロバスト性については未解決の問題のままである。