[論文レビュー] Analysis of a Class of Likelihood Based Continuous Time Stochastic Volatility Models including Ornstein-Uhlenbeck Models in Financial Economics

Lancelot F. James|ArXiv.org|Mar 3, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、インテグレーテッド・ボラティリティをポアソン確率測度の線形関数として表現することにより、オーナイズ・ウーレンブール過程を含む連続時間確率的ボラティリティモデルの、取り扱い可能な尤度ベースの枠組みを構築する。エッシャー変換とウェーバー＝ゾニネの公式の特別なケースを用い、多次元コサイン変換を介して明示的な周辺尤度を導出することで、シミュレーションを要せず、ラーレイ効果を含むモデルに対しても正確な数値積分が可能となるベイズ推論が可能となる。

ABSTRACT

In a series of recent papers Barndorff-Nielsen and Shephard introduce an attractive class of continuous time stochastic volatility models for financial assets where the volatility processes are functions of positive Ornstein-Uhlenbeck(OU) processes. This models are known to be substantially more flexible than Gaussian based models. One current problem of this approach is the unavailability of a tractable exact analysis of likelihood based stochastic volatility models for the returns of log prices of stocks. With this point in mind, the likelihood models of Barndorff-Nielsen and Shephard are viewed as members of a much larger class of models. That is likelihoods based on n conditionally independent Normal random variables whose mean and variance are representable as linear functionals of a common unobserved Poisson random measure. The analysis of these models is facilitated by applying the methods in James (2005, 2002), in particular an Esscher type transform of Poisson random measures; in conjunction with a special case of the Weber-Sonine formula. It is shown that the marginal likelihood may be expressed in terms of a multidimensional Fourier-cosine transform. This yields tractable forms of the likelihood and also allows a full Bayesian posterior analysis of the integrated volatility process. A general formula for the posterior density of the log price given the observed data is derived, which could potentially have applications to option pricing. We extend the models to include leverage effects in section 5. It is shown that inference does not necessarily require simulation of random measures. Rather, classical numerical integration can be used in the most general cases.

研究の動機と目的

• インテグレーテッド・ボラティリティに基づく連続時間確率的ボラティリティモデルにおける、取り扱い可能な尤度分析の欠如に応えること。
• バーンドルフ＝ニールセンとシーファードのOUベースのモデルを、ポアソン確率測度を用いたより広範な尤度ベースのモデルへと拡張すること。
• シミュレーションによる確率測度の生成を要せず、インテグレーテッド・ボラティリティ過程の完全なベイズ後測度分析を可能にすること。
• 価格・ボラティリティのジャンプに伴うレバレッジ効果を、取り扱い可能な尤度枠組みに組み込むこと。
• 一般の場合でも、古典的数値積分で十分であり、Lévy密度の知識に依存しないこと。

提案手法

• 共通の観測不能なポアソン確率測度の線形関数として、インテグレーテッド・ボラティリティ過程 τ(t) を表現する。
• 尤度計算を容易にするために、ポアソン確率測度にエッシャー型変換を適用する。
• ベッセル関数とコサイン変換を含むウェーバー＝ゾニネの公式の特別なケースを用い、周辺尤度を表現する。
• 尤度のコサイン変換表現を用いて、対数価格の後測度予測密度を導出する。
• 相関するジャンプ成分を含むレバレッジモデルにおいて、正規変数の特性関数の恒等式を用いる。
• 複素数値関数 Υₙ と Ωₙ を含む ℝⁿ 上の積分として尤度を表現し、数値評価を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MCMC シミュレーションに依存せずに、一般の尤度ベースの連続時間確率的ボラティリティモデルを分析できるか？
• RQ2 インテグレーテッド・ボラティリティがポアソン確率測度の線形関数である場合、周辺尤度の明示的表現が得られるか？
• RQ3 価格とボラティリティのジャンプに伴うレバレッジ効果を、取り扱い可能な尤度枠組みに組み込むにはどうすればよいか？
• RQ4 古典的数値積分のみを用いて、インテグレーテッド・ボラティリティ過程のベイズ推論が可能か？
• RQ5 Lévy密度の明示的知識がなくても、基礎となる確率変数のラプラス変換（Lévy指数）が分かれば推論が可能か？

主な発見

• 観測された対数リターンの周辺尤度は、多次元コサイン変換として表現可能であり、計算が容易になる。
• データを前提とした対数価格の後測度密度が明示的に導出され、オプションプライシングへの応用が可能となる可能性がある。
• レバレッジ効果を含むモデルでは、正規変数の特性関数から導かれる複素数値関数を含む積分として尤度が表現される。
• 特定の部分クラスでは、有限個の独立な潜在確率変数のみが必要となり、計算が簡素化される。
• この枠組みにより、確率測度のシミュレーションを回避して、古典的数値積分を用いて正確な尤度評価が可能となる。
• Lévy密度が不明であっても、ラプラス変換（またはLévy指数）が分かっていれば、この手法は依然として有効である。