[論文レビュー] Analysis of Artificial Dissipation of Explicit and Implicit Time-Integration Methods

Philipp Öffner, Jan Glaubitz+1 more|King Abdullah University of Science and Technology Repository (King Abdullah University of Science and Technology)|Sep 8, 2016

Numerical methods for differential equations参考文献 48被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、双曲型保存則に対する明示的および陰的時間積分法における人工的拡散とモーダルフィルタリングを分析し、明示的スキームを陰的法の内在的拡散を模倣することで安定化できることを示している。主な貢献は、明示的時間積分における離散的 $\mathbf{L}_2$-ノルムの保存を保証する、証明可能に安定でエネルギー保存型の適応的フィルタリング手順である。これにより、高次法を用いた安定な長時間シミュレーションが可能になる。

ABSTRACT

Stability is an important aspect of numerical methods for hyperbolic conservation laws and has received much interest. However, continuity in time is often assumed and only semidiscrete stability is studied. Thus, it is interesting to investigate the influence of explicit and implicit time integration methods on the stability of numerical schemes. If an explicit time integration method is applied, spacially stable numerical schemes for hyperbolic conservation laws can result in unstable fully discrete schemes. Focusing on the explicit Euler method (and convex combinations thereof), undesired terms in the energy balance trigger this phenomenon and introduce an erroneous growth of the energy over time. In this work, we study the influence of artificial dissipation and modal filtering in the context of discontinuous spectral element methods to remedy these issues. In particular, lower bounds on the strength of both artificial dissipation and modal filtering operators are given and an adaptive procedure to conserve the (discrete) $\mathbf{L}_2$ norm of the numerical solution in time is derived. This might be beneficial in regions where the solution is smooth and for long time simulations. Moreover, this approach is used to study the connections between explicit and implicit time integration methods and the associated energy production. By adjusting the adaptive procedure, we demonstrate that filtering in explicit time integration methods is able to mimic the dissipative behavior inherent in implicit time integration methods. This contribution leads to a better understanding of existing algorithms and numerical techniques, in particular the application of artificial dissipation as well as modal filtering in the context of numerical methods for hyperbolic conservation laws together with the selection of explicit or implicit time integration methods.

研究の動機と目的

• 双曲型保存則に対する空間的に安定なスキームにおいて、明示的時間積分が引き起こす不安定性を調査すること。
• 完全離散スキームの安定化における人工的拡散およびモーダルフィルタリングの役割を分析すること。
• 明示的時間積分における離散的 $\mathbf{L}_2$-ノルムを保存する適応的フィルタリング手順を導出すること。
• 陰的法の拡散的挙動と、適応的フィルタリングを施した明示的法との間の関係を確立すること。
• 明示的エーラー手順の凸結合を介して一般ルンゲ＝クッタ法へと分析を拡張すること。

提案手法

• 半離散的安定性を保証するため、和分による部分和（SBP）作用素を用いたフラックス再構成（FR）法を用いる。
• 明示的エーラーおよび一般ルンゲ＝クッタ時間積分器のエネルギーバランスを分析し、エネルギー増大を引き起こす可能性のある $(\Delta t)^2$ 項を同定する。
• エネルギー不足から推定される強度 $\varepsilon$ を有する適応的モーダルフィルタを導出することで、ノルム増大を防止する。
• モーダルルジャンドル基底を用いて、フィルタを $\sum_{n=0}^{p} \exp[-2\varepsilon \lambda_n^s] u_{+,n}^2 \|\varphi_n\|^2 \leq \text{RHS}$ の形で表現する。
• エネルギー不足に基づき、$\varepsilon$ の下界を $\varepsilon \geq \left( \|\underline{u}_+\|_M^2 - \|\underline{u}_0\|_M^2 - 2\Delta t \sum b_i \langle \underline{u}_i, \partial_t \underline{u}_i \rangle_M \right) \left( \sum 2\lambda_n^s \tilde{u}_{+,n}^2 \|\varphi_n\|^2 \right)^{-1}$ として確立する。
• 不連続スペクトル有限要素法にこの手法を適用し、明示的スキームにおける陰的拡散を模倣する能力を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 明示的時間積分は、空間的に安定なスキームにおいて、どのように不自然なエネルギー増大を引き起こすか？
• RQ2 明示的時間積分を安定化させるために必要な最小限の人工的拡散またはモーダルフィルタリング強度は何か？
• RQ3 明示的スキームにおけるモーダルフィルタリングは、陰的時間積分の安定性特性を再現できるか？
• RQ4 適応的フィルタリングを用いて、長時間にわたるシミュレーションで離散的 $\mathbf{L}_2$-ノルムをどのように保存できるか？
• RQ5 適応的フィルタリング手順は、明示的エーラー手順の凸結合を介して、一般ルンゲ＝クッタ法へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 明示的時間積分のエネルギーバランスにおける $(\Delta t)^2$ 項は、物理的に不自然なエネルギー増大を引き起こし、空間的に安定なスキームを不安定にする可能性がある。
• 離散的 $\mathbf{L}_2$-ノルムが時間経過で保存または減少するように保証するための、フィルタ強度 $\varepsilon$ の下界が導出された。
• 適応的モーダルフィルタリングは、陰的時間積分法の内在的拡散を効果的に模倣し、明示的スキームにおける安定な長時間シミュレーションを可能にした。
• 提案されたフィルタリング手順は明示的エーラー法に対して有効であり、明示的エーラー手順の凸結合を介して一般ルンゲ＝クッタ法へ拡張可能である。
• 非線形方程式の反復解法を必要とせず、明示的スキームの効率性と陰的スキームの頑健性を両立させる。
• 数値的証拠により、適応的フィルタが長時間にわたる積分においても、滑らかな領域においても $\mathbf{L}_2$-ノルムを所定の範囲内に維持することが確認された。