[論文レビュー] Analysis of continuous strict local martingales via h-transforms

Soumik Pal, Philip Protter|RePEc: Research Papers in Economics|Nov 7, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、h変換と測度変更を用いて連続的かつ厳密な局所マーティンググレを生成・分析する体系的な手法を確立し、非同値な測度が存在する場合に厳密な局所マーティンググレが自然に出現することを示している。主な貢献は、非同値な測度と厳密な局所マーティンググレを結びつける一般枠組みの構築であり、拡散過程、サイズバイアス付き標本、非衝突過程、およびケルビン変換を用いた多次元の conformal 一般化への応用を含む。

ABSTRACT

We study strict local martingales via h-transforms, a method which first appeared in Delbaen-Schachermayer. We show that strict local martingales arise whenever there is a consistent family of change of measures where the two measures are not equivalent to one another. Several old and new strict local martingales are identified. We treat examples of diffusions with various boundary behavior, size-bias sampling of diffusion paths, and non-colliding diffusions. A multidimensional generalization to conformal strict local martingales is achieved through Kelvin transform. As curious examples of non-standard behavior, we show by various examples that strict local martingales do not behave uniformly when the function (x-K)^+ is applied to them. Implications to the recent literature on financial bubbles are discussed.

研究の動機と目的

• 非同値な確率測度の下で、h変換を介して厳密な局所マーティンググレが根本的に生じることを示すこと。
• 拡散過程、サイズバイアス付き標本、非衝突過程にわたる既存の厳密な局所マーティンググレの例を統一的かつ拡張的に扱うこと。
• 凸関数を厳密な局所マーティンググレに適用したときの挙動、特に E[(Xt−K)+] のような期待値の非単調性を調査すること。
• ケルビン変換を用いた多次元一般化を検討し、次元 ≥3 における conformal な厳密な局所マーティンググレを導入すること。
• 金融バブルに与える影響を明確にすること、特に厳密な局所マーティンググレのダイナミクスにおけるプット・コール・パリティの破綻と、非単調なオプション価格について。

提案手法

• 非負の調和関数を用いた古典的なドゥーブ型の測度変更である h 変換を用い、別の測度の下でのマーティンググレから新たな厳密な局所マーティンググレを生成する。
• ギルサノフの定理を適用し、得られた過程を時間変換された拡散過程または条件付き過程として記述する。特に、調和関数のゼロ集合を避ける。
• Radon-Nikodým 迅速 h_t = dP/dQ を用いて、N_t = f_t / h_t と定義する。ここで f は Q-マーティンググレである。
• h_t が Q の下でほとんど確実にゼロに到達するかどうかに応じて、P の下で N_t が厳密な局所マーティンググレであるための条件を確立する。
• 次元 ≥3 におけるケルビン変換を用いて、1次元の厳密な局所マーティンググレを conformal な局所マーティンググレへ一般化する。
• 凸関数が厳密な局所マーティンググレに与える影響を分析し、特に (X_t − K)+ に対して、E[(X_t − K)+] が t に関して単調増加でない可能性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Q-マーティンググレが h 変換を介して P の下で厳密な局所マーティンググレに変わる条件は何か？
• RQ2 凸関数 (X_t − K)+ が厳密な局所マーティンググレに適用されたときの挙動は何か？ なぜその期待値が単調でない可能性があるのか？
• RQ3 h 変換の枠組みを用いて、さまざまな境界挙動を示す拡散過程における厳密な局所マーティンググレを体系的に生成・分類できるか？
• RQ4 厳密な局所マーティンググレの多次元的類似物は何か？ ケルビン変換を用いて conformal な厳密な局所マーティンググレを構築する方法は？
• RQ5 厳密な局所マーティンググレのダイナミクスが金融バブルに与える影響は何か？ 特にオプションプライシングとプット・コール・パリティにおいて。

主な発見

• 厳密な局所マーティンググレは、Radon-Nikodým 迅速 h_t が Q の下で正の確率でゼロに到達する場合に、かつその場合に限り出現する。このとき測度 P と Q は同値でない。
• 非負の Q-マーティンググレ f_t に対して、N_t = f_t / h_t は、Q(τ_0 < ∞) > 0 である限り、P の下で厳密な局所マーティンググレである。ここで τ_0 = inf{s: h_s = 0} である。
• 厳密な局所マーティンググレ X_t に対して、E[(X_t − K)+] は時間 t に関して減少する可能性があり、標準的な下マーティンググレの直感に反する。
• リスクニュートラル価格過程が厳密な局所マーティンググレである市場では、コール・オプション価格 E[(S_T − K)+] が満期 T が長くなるにつれて減少することがあり、短期満期オプションに戦略的利点があることを示唆する。
• ケルビン変換による多次元一般化により、次元 ≥3 における conformal な厳密な局所マーティンググレが得られ、そのうち少なくとも1つの座標過程は厳密な局所マーティンググレである。
• 本稿は、原資産価格が厳密な局所マーティンググレである場合、プット・コール・パリティが成立せず、アメリカン・オプションに最適な行使戦略が存在しない可能性があることを示しており、金融バブルモデルと整合的である。