[論文レビュー] Analysis of plasmon resonance on smooth domains using spectral properties of the Neumann-Poincaré operators

Kazunori Ando, Hyeonbae Kang|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Numerical methods in inverse problems参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、滑らかな領域におけるプラズモン共鳴を、ノイマン＝ポアンカレ（NP）作用素のスペクトル的性質を用いて分析し、対称化を拡張することで、単層ポテンシャルが $H^{-1/2}$ から $H^{1/2}$ へのユニタリ作用素であることを示した。共鳴が固有値で発生する場合、その発散速度は $\delta^{-1}$ であるのに対し、楕円体上での本質的スペクトルにおける共鳴は弱く、クローキングではなく異常局所化共鳴に対応する。3次元球体では、本質的スペクトルにおける共鳴は発生しない。

ABSTRACT

We investigate in a quantitative way the plasmon resonance at eigenvalues and the essential spectrum (the accumulation point of eigenvalues) of the Neumann-Poincaré operator on smooth domains. We first extend the symmetrization principle so that the single layer potential becomes a unitary operator from $H^{-1/2}$ onto $H^{1/2}$. We then show that the resonance at the essential spectrum is weaker than that at eigenvalues. It is shown that anomalous localized resonance occurs at the essential spectrum on ellipses, but cloaking does not occur on ellipses unlike the core-shell structure considered in [20]. It is shown that resonance does not occur at the essential spectrum on three dimensional balls.

研究の動機と目的

• ノイマン＝ポアンカレ作用素の固有値と本質的スペクトルにおけるプラズモン共鳴を、定量的に比較すること。
• 単層ポテンシャルが滑らかな境界上で $H^{-1/2}$ から $H^{1/2}$ へのユニタリ作用素となるように、対称化原理を拡張すること。
• 楕円体や3次元球体における本質的スペクトルで、異常局所化共鳴またはクローキングが発生するかどうかを特定すること。
• ラプラシアンの基本解をNP作用素の固有関数の展開として表す式を導出し、共鳴解析に応用すること。
• $\epsilon_c + i\delta$ が負の実数の誘電率に近づく $\delta \to 0$ の極限において、$\|\nabla u_\delta\|_{L^2(\Omega)}$ の発散速度を定量的に評価すること。

提案手法

• プレメルジュの対称化原理を拡張し、滑らかな領域上での単層ポテンシャル $\mathcal{S}_{\partial\Omega}$ が $H^{-1/2}(\partial\Omega)$ から $H^{1/2}(\partial\Omega)$ へのユニタリ作用素であることを示した。
• NP作用素のスペクトル分解を用いて、基本解 $\Gamma(x-z)$ を固有関数 $\psi_n^m$ と固有値 $\lambda_n$ を含む級数として表現した。
• 展開式を用いて、$\epsilon_c + i\delta$ が負の実数誘電率に近づく $\delta \to 0$ の極限における勾配エネルギー $\|\nabla u_\delta\|_{L^2(\Omega)}$ を分析した。
• 3次元では球面調和関数、2次元では楕円座標における楕円調和関数を用い、球体および楕円体上での単層ポテンシャルの明示的展開を導出した。
• ウンゾルドの定理と $L^2$ ノルム推定を用いて、$|\nabla \mathcal{S}_{\partial\Omega}[\psi_n^m](z)|^2 \lesssim n^2 r_0^{-2(n+2)}$ を $|z| = r_0 > 1$ に対して評価した。
• 勾配エネルギー $\|\nabla(u_\delta - F_z)\|_{L^2(\Omega)}$ の漸近的挙動を分析し、$\delta \to 0$ のとき一様に有界であることを示した。これにより、3次元球体上では本質的スペクトルにおける発散は生じないことが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NP作用素の固有値における $\|\nabla u_\delta\|_{L^2(\Omega)}$ の発散速度は、$\delta \to 0$ のときどのように定量的に評価できるか？
• RQ2 本質的スペクトル（固有値の蓄積点）における共鳴は、固有値における共鳴と比べてどのように定量的に異なるか？
• RQ3 楕円体上での本質的スペクトルにおける異常局所化共鳴は発生するか？その正確な発散速度は何か？
• RQ4 コアシェル構造とは異なり、楕円体上での本質的スペクトルにおけるクローキングは可能か？
• RQ5 3次元球体上では本質的スペクトルにおける共鳴が発生するか？その場合、勾配エネルギーの挙動はいかなるものか？

主な発見

• NP作用素の固有値における共鳴は、$\delta \to 0$ のとき $\|\nabla u_\delta\|_{L^2(\Omega)} \sim \delta^{-1}$ の発散速度を示す。
• 楕円体上での本質的スペクトルにおける共鳴は $\delta^{-1}$ よりも弱く、異常局所化共鳴に対応する。楕円座標における調和関数展開により、正確な発散速度が導出された。
• 楕円体上での本質的スペクトル（0）では異常局所化共鳴が発生するが、クローキングは発生しない。これは [20] で研究されたコアシェル構造とは異なり、発生しない。
• 3次元球体上では、本質的スペクトルにおける共鳴は発生せず、$\|\nabla u_\delta\|_{L^2(\Omega)}$ は $\delta \to 0$ のとき一様に有界である。
• 3次元単位球体および2次元楕円体において、基本解 $\Gamma(x-z)$ をNP固有関数の展開として明示的に導出し、スペクトル理論により既知の結果を再現した。
• 滑らかな領域上での単層ポテンシャル $\mathcal{S}_{\partial\Omega}$ が $H^{-1/2}(\partial\Omega)$ から $H^{1/2}(\partial\Omega)$ へのユニタリ作用素であることが示され、対称化原理が拡張された。