[論文レビュー] Analysis of the postulates produced by Karp's Theorem

Jerrald Meek|ArXiv.org|Aug 24, 2008

Optimization and Packing Problems参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Karpの定理の第二の仮定に反論することで、P ≠ NPを主張している。この仮定は、NP完全問題のいずれかを多項式時間で解けるならばP = NPであると仮定している。本論文は、全般的なNP完全問題、特にK-SATと0-1-Knapsackを解くために、全探索、分割、問題固有の構造、あるいは「魔法のような」短絡的手段に基づく決定的多項式時間アルゴリズムが、その還元における本質的構造的・論理的制約と入力依存性のため、すべてのNP完全問題を解くことはできないことを示している。

ABSTRACT

This is the final article in a series of four articles. Richard Karp has proven that a deterministic polynomial time solution to K-SAT will result in a deterministic polynomial time solution to all NP-Complete problems. However, it is demonstrated that a deterministic polynomial time solution to any NP-Complete problem does not necessarily produce a deterministic polynomial time solution to all NP-Complete problems.

研究の動機と目的

• 任意のNP完全問題を決定的多項式時間で解けるという仮定がP = NPを示すという広く信じられている帰結を挑戦すること。
• Karpの定理の第二の仮定、すなわち、任意のNP完全問題の解法がK-SATの解法を示すという仮定が論理的に根拠のないものであることを示すこと。
• 全探索、分割、問題固有の構造、あるいは「魔法のような」短絡的手段を含む、いかなるアルゴリズム的戦略でも、すべてのNP完全問題に対する一般解を得ることはできないことを示すこと。
• 0-1-Knapsack問題がK-SATに依存するすべてのNP完全問題と同様に、K-SAT自体が多項式時間で解けるようになるまで、決定的多項式時間で解けないことを確立すること。
• P ≠ NPを決定的に結論づけるために、一般解へのすべての妥当なアルゴリズム的道筋を排除すること。

提案手法

• Karpの定理の論理的構造を分析し、P = NPを信じる背後にある誤った仮定として第二の仮定を特定する。
• P = NP最適化定理を適用し、NP完全問題に対して全探索が多項式時間解法として成立しないことを示す。
• P = NP分割定理を適用し、探索空間を管理可能なサイズにまで削減できる多項式時間の分割戦略が利用できないことを示す。
• 0-1-Knapsack問題に特化した4つの定理（ランダム集合、合成、M品質還元、品質集合定理）を導入・適用し、入力依存の性質が一般多項式時間解法を生まないことを示す。
• K-SAT入力関係定理を用いて、問題形式や入力構造に依存する解法がNP完全問題間で転送できないことを証明する。
• 最後に、4つの潜在的アルゴリズム的道筋（探索、分割、直接的解法、魔法的解法）を評価し、NP完全性とKarpの還元の制約下でそれぞれが失敗することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Karpの定理の第二の仮定が想定するように、任意のNP完全問題を決定的多項式時間で解けることは、K-SATも解けることを必然的に示すのか？
• RQ2 全探索、分割、あるいは構造に基づく最適化といった、いかなるアルゴリズム戦略でも、すべてのNP完全問題に対する一般多項式時間解法を得られるのか？
• RQ3 入力固有の性質や問題形式を活用することで、NP完全問題の本質的複雑性を回避し、一般多項式時間解法を得ることは可能か？
• RQ4 0-1-Knapsack問題はNP完全であるが、既知の還元関係を踏まえると、K-SATを多項式時間で解くために0-1-Knapsackの解法を利用できるのか？
• RQ5 標準的なアルゴリズム的制約を飛び越える「魔法のような」解法が存在し得るのか？そして、それらがP = NPを証明できるのか？

主な発見

• Karpの定理の第二の仮定、すなわち任意のNP完全問題の解法がK-SATの解法を示すという仮定は、Karpの元の研究から論理的に導かれないため、無効である。
• P = NP最適化定理により、全探索はNP完全問題に対する有効な多項式時間解法として排除される。なぜなら、すべての2^k個の割り当てを検査する必要があるからである。
• P = NP分割定理により、探索空間を縮小できる多項式サイズの分割を用いることは排除される。なぜなら、このような分割を多項式時間で特定することはできないからである。
• 0-1-Knapsack問題に特化したランダム集合、合成、M品質還元、品質集合定理が、入力依存の性質が一般多項式時間解法を生まないことを総合的に示している。
• K-SAT入力関係定理により、問題形式や入力構造に依存する解法はNP完全問題間で転送できず、一般解を得る手段としても機能しないことが証明された。
• 全探索、分割、直接的構造的解法、および「魔法のような」解法の4つの潜在的道筋が、論理的かつ数学的に排除され、P ≠ NPであるという結論に至った。