[論文レビュー] P is a proper subset of NP

Jerrald Meek|ArXiv.org|Apr 7, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、NP完全問題に対する決定的多項式時間解法が、節の数が無限大に近づくにつれて無限個の入力集合を処理しなければならないことを示すことで、PはNPの真部分集合であると主張している。中心的な貢献は、P = NPを満たすには、有限で多項式的に有界された探索しか可能でないことを示すP = NP最適化定理であり、このような探索分割はFEXP複雑度クラスに属するため、P = NPは達成不可能である。

ABSTRACT

The purpose of this article is to examine and limit the conditions in which the P complexity class could be equivalent to the NP complexity class. Proof is provided by demonstrating that as the number of clauses in a NP-complete problem approaches infinity, the number of input sets processed per computation performed also approaches infinity when solved by a polynomial time solution. It is then possible to determine that the only deterministic optimization of a NP-complete problem that could prove P = NP would be one that examines no more than a polynomial number of input sets for a given problem. It is then shown that subdividing the set of all possible input sets into a representative polynomial search partition is a problem in the FEXP complexity class. The findings of this article are combined with the findings of other articles in this series of 4 articles. The final conclusion will be demonstrated that P =/= NP.

研究の動機と目的

• NP完全問題に関連して、PがNPに等しい可能性がある条件を厳密に検討すること。
• NP完全問題に対する決定的多項式時間解法が、問題サイズが増加するにつれて無限個の入力集合を処理しなければならないことの証明。
• P = NPの最適化が、多項式的に有界された入力集合に限定され、それがFEXP複雑度クラスに属することを確立すること。
• P = NPの理論的要件を、一連の定理を通じて狭め、P ≠ NPの証明に至ること。
• 四つの関連論文の知見を統合し、P = NPが到達不可能であることを結論的に主張すること。

提案手法

• 節の数が無限大に近づく際のNP完全問題における多項式時間計算レートの極限挙動を分析する。
• P = NP最適化定理（定理4.4）を導入し、多項式時間内で処理可能な入力集合の数が有限で多項式的に有界であることを証明する。
• 全入力空間を代表的な多項式的探索分割に分割することは、FEXP複雑度クラスに属する問題であることを示す。
• 非決定的チューリングマシンモデルを用いて、NP完全性の性質と決定的シミュレーションの限界を明確化する。
• HorowitzとSahni（1974）の結果を応用して、NP完全最適化定理を検証する。
• 特にスティーブン・クックからのフィードバックを受けて、論理的構造を精緻化し、初期の誤りを是正する反復的改訂に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NP完全問題に関して、PがNPに等しくなる条件は何か？
• RQ2 NP完全問題に対する決定的多項式時間解法における入力集合処理レートの漸近的挙動は何か？
• RQ3 決定的多項式時間アルゴリズムが、NP完全問題を解く際に多項式数の入力集合のみを処理できるか？
• RQ4 すべての可能な入力集合を代表的な多項式的探索サブセットに分割する問題は、多項式時間内で決定可能か？
• RQ5 このような分割がFEXP複雑度クラスに属することは、P ≠ NPを示唆するか？

主な発見

• NP完全問題における節の数が無限大に近づくにつれて、任意の決定的多項式時間解法が1回の計算で処理する入力集合の数も無限大に近づく。
• 決定的多項式時間アルゴリズムがNP完全問題を解くためには、たかだか多項式数の入力集合しか処理できない。
• すべての可能な入力集合の集合を代表的な多項式的探索分割に分割することは、FEXP複雑度クラスに属する問題である。
• P = NP最適化定理は、専門家レビューと見直された論理によって確認され、P = NPのための必要条件が確立された。
• NP完全最適化定理は当初、専門家レビューで反証され、代わりに新しいP = NP分割時間定理に置き換えられた。
• 本論文およびその後の三つの論文の累積的知見により、P ≠ NPが結論づけられ、PはNPの真部分集合であることが示された。