[論文レビュー] Analysis on Riemannian foliations of bounded geometry

Jesús A. Álvarez López, Yuri A. Kordyukov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 30, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有界幾何のリーマン多様体の葉層構造に対して、葉ごとのホッジ分解を確立し、葉層付きフローに関連する滑らか化作用素の構成とそのシュワーツ核の記述を可能にする。さらに、これらの結果を葉ごとのノヴィコフ微分複体に拡張し、特にディンジャーマンのゼータ関数プログラムにおける算術幾何における動的トレース公式の枠組みを提供する。

ABSTRACT

A leafwise Hodge decomposition was proved by Sanguiao for Riemannian foliations of bounded geometry. Its proof is explained again in terms of our study of bounded geometry for Riemannian foliations. It is used to associate smoothing operators to foliated flows, and describe their Schwartz kernels. All of this is extended to a leafwise version of the Novikov differential complex.

研究の動機と目的

• 有界幾何のリーマンの葉層構造への葉ごとのホッジ分解の拡張を図り、適切に振る舞う葉ごとのラプラシアンと射影を保証する。
• 葉ごとのホッジ分解と熱作用素を用いて、葉層付きフローに関連する滑らか化作用素を定義・解析する。
• これらの作用素のシュワーツ核を幾何的データと群作用の観点から記述する。
• 閉1形式による摂動を含む、葉ごとのノヴィコフ微分複体への枠組みの一般化を行う。
• 固定点を伴う特異な葉層付き空間におけるディンジャーマンのプログラムを支援するため、動的リーマンスのトレース公式のための道具を提供する。

提案手法

• 葉ごとのホッジ分解 $ C^{\infty}(M;\Lambda\mathcal{F}) = \ker\Delta_{\mathcal{F}} \oplus \overline{\operatorname{im}d_{\mathcal{F}}} \oplus \overline{\operatorname{im}\delta_{\mathcal{F}}} $ を用いて、葉ごとの微分形式を分解し、調和形式への射影を行う。
• 葉ごとの熱作用素 $ e^{-u\Delta_{\mathcal{F}}} $ を用いて滑らか化作用素を構成し、$ f \in C^\infty_c(\mathbb{R}) $ に対して $ P_{u,f} = \int_{\mathbb{R}} \phi^{t*} e^{-u\Delta_{\mathcal{F}}} f(t) dt $ となる作用素を得る。
• 有界幾何により保証される局所的有限性と基本群作用の等長性を用いて、これらの作用素のシュワーツ核を引き戻しと同変性を用いて記述する。
• 摂動された微分 $ d_{\mathcal{F},z} = d_{\mathcal{F}} + z\,\theta\wedge $ 及びその随伴 $ \delta_{\mathcal{F},z} = \delta_{\mathcal{F}} - \bar{z}\,\theta\lrcorner $ を用いて、葉ごとのノヴィコフ複体への拡張を行う。ここで $ \theta \in C^\infty_{\text{ub}}(M;\Lambda^{0,1}) $ である。
• 葉層付きフローとその作用を正則被覆に持ち上げて $ \phi^{t*}_z $ を定義し、摂動付き滑らか化作用素とその核の構成を可能にする。
• $ \Gamma $-同変性と級数の局所的有限性を用いて、核 $ K_P(p,q) $ を群の軌道の和として表現し、距離関数の $ h $-同変性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界幾何のリーマンの葉層構造の文脈において、葉ごとのホッジ分解はどのように確立され、適用可能となるか？
• RQ2 有界幾何のリーマンの葉層構造上での葉層付きフローに関連する滑らか化作用素のシュワーツ核の構造はどのようなものか？
• RQ3 閉1形式による摂動を含む、ノヴィコフ微分複体への葉ごとのホッジ理論はどのように拡張可能か？
• RQ4 葉ごとの熱作用素は、トレースクラスの滑らか化作用素とそのスーパートレース不変量を定義するために果たす役割は何か？
• RQ5 固定点を伴う葉層付きフローを扱うための枠組みは、どのように調整可能か、特にディンジャーマンの動的トレース公式プログラムの文脈において。

主な発見

• 有界幾何のリーマンの葉層構造に対して、葉ごとのホッジ分解が成立し、$ C^\infty(M;\Lambda\mathcal{F}) $ が調和形式、$ d_{\mathcal{F}} $ の像、$ \delta_{\mathcal{F}} $ の像に分解される。$ \Pi_{\mathcal{F}} = e^{-\infty\Delta_{\mathcal{F}}} $ は $ \ker\Delta_{\mathcal{F}} $ への射影を表す。
• すべての $ u > 0 $ に対して、作用素 $ P_{u,f} = \int_{\mathbb{R}} \phi^{t*} e^{-u\Delta_{\mathcal{F}}} f(t) dt $ は滑らかでトレースクラスであり、スーパートレースは $ u $ に依存しない。$ u \downarrow 0 $ の極限は、閉じた軌道からの寄与を捉える。
• 滑らか化作用素 $ P $ のシュワーツ核は $ K_P(p,q) = \sum_{\gamma \in \Gamma} T_\gamma^* K_{\widetilde{P}}(\gamma \cdot \tilde{p}, \tilde{q}) $ で与えられ、有界幾何と距離関数の $ h $-同変性により局所的有限性が保証される。
• 葉ごとのノヴィコフ複体において、摂動された微分 $ d_{\mathcal{F},z} = d_{\mathcal{F}} + z\,\theta\wedge $ 及びその随伴 $ \delta_{\mathcal{F},z} $ は有界幾何を保ち、$ d\theta = 0 $ のとき $ d_{\mathcal{F},z}^2 = 0 $、$ \delta_{\mathcal{F},z}^2 = 0 $ を満たす。
• 葉ごとのノヴィコフ摂動 $ \phi^{t*}_z $ は正則被覆に持ち上げられ、摂動付き滑らか化作用素とその核を、群の軌道上の $ \Gamma $-同変和を用いて構成可能である。
• 構造に変更を加えずにノヴィコフ設定に一般化可能である。滑らか化作用素、核、トレース不変量に関するすべての結果は、$ D_{\mathcal{F},z} $ と $ \Pi_{\mathcal{F},z} $ を用いて摂動された複体へと拡張可能である。