[論文レビュー] Arithmetic Geometry and Analysis on Foliated Spaces

Christopher Deninger|ArXiv.org|May 17, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$\ mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$ 上のスキームの算術ゼータ関数に対して、葉層構造を持つ多様体上の力学系との類似性に着目し、コhomologicalな枠組みを提案する。特定の力学系の縮約された葉方向コホモロジーが、モチーフ的コホモロジーが予想される性質を再現することを示し、予想される算術L関数と整合するLefschetz型のトレース公式を導出する。これは、数体のL関数の背後にある深い幾何的構造を示唆する。

ABSTRACT

This report on the topics in the title was written for a lecture series at the Southwestern Center for Arithmetic Algebraic Geometry at the University of Arizona.It may serve as an introduction to certain conjectural relations between number theory and the theory of dynamical systems on foliated spaces. The material is based on streamlined and updated versions of earlier papers on this subject.

研究の動機と目的

• 特徴が正の特性を示す$l$-adicコホモロジーに類似した、$\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$ 上の代数的スキームのコホモロジー形式主義を構築すること。
• ハッセ＝ヴァイルのゼータ関数の予想される性質（関数等式や特別値の公式など）が、その形式主義によって実現可能であることを説明すること。
• $\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$ 上のスキームのモチーフ的コホモロジーが期待される構造的性質を示す、葉層多様体上の力学系の縮約された葉方向コホモロジーを同定すること。
• 力学的フローの不動点とアーキメデス的位相との間の対応関係を確立し、幾何学と算術を結びつけること。
• L関数の振る舞いにおける類似性を通じて、算術的力学と算術的トポロジーの関係を探索すること。

提案手法

• 平坦なスキーム $\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$ から、葉層多様体上の力学系へのファンクター的対応を提案し、フロー $\phi^t$ と自己同型 $\sigma$ を用いる。
• 特に、構造的層に対して $H^i_c(U,F)$ を考える際、力学系の縮約された葉方向コホモロジーをモチーフ的コホモロジーの候補とする。
• 力学系上の自己準同型 $\phi^s\sigma$ に対してLefschetz不動点公式を適用し、不動点集合上でトレース公式を導出する。
• $\mathrm{Tr}((\sigma,e)^* \mid H^\bullet_c(U,F))$ のトレース公式を導出し、$\phi$-不動点および $\sigma$-不動点の和に符号因子 $\varepsilon_x(\sigma)$ を含める。
• 動的トレース公式と、$L$-関数の特別値に関する予想のBloch–KatoおよびSouléの公式を比較する。
• 力学的空間上のフロー $\phi^t$ の不動点集合が、$\mathcal{X}_\infty = \mathcal{X} \otimes \mathbb{R}$ に一致すると仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$ 上のスキームのコホモロジー形式主義を、葉層多様体上の力学系を用いて構築することは可能か？
• RQ2 このような力学系の縮約された葉方向コホモロジー群は、モチーフ的コホモロジーが期待する構造的性質を満たすか？
• RQ3 動的トレース公式を通じて、ハッセ＝ヴァイルのゼータ関数の関数等式が幾何的に実現可能か？
• RQ4 $L$-関数の特別値は、力学系の不動点データから回復可能か？
• RQ5 動的トレース公式における符号因子 $\varepsilon_x(\sigma)$ は、関数等式の符号といった算術的不変量とどのように関係するか？

主な発見

• フロー $\phi^t$ に不動点がない場合、コンパクト台付きコホモロジー $H^\bullet_c(\mathcal{X}_{\mathrm{dyn}}, \mathbb{Q})$ 上の自己同型 $\sigma^*$ のトレースは消える。これは、アーキメデス的完備化に有限素数が存在しないことと整合する。
• 滑らかな一般ファイバーと非退化な不動点を持つスキームに対して、動的トレース公式により $\mathrm{Tr}(\sigma^* \mid H^\bullet(\overline{\mathcal{X}}_{\mathrm{dyn}}, j_*\mathbb{Q})) = \sum_{\sigma x = x} \varepsilon_x(\sigma)$ が得られ、式 (49) の算術的公式と一致する。
• 力学的空間 $\mathcal{X}_{\mathrm{dyn}}$ 上のフロー $\phi^t$ の不動点集合は、$\mathcal{X}_\infty = \mathcal{X}(\mathbb{C}) / \langle F_\infty \rangle$ と双対的であると予想される。これは、アーキメデス的付値の集合である。
• 動的公式における符号因子 $\varepsilon_x(\sigma)$ は、Bloch–Kato公式 (43) の算術的符号因子と一致し、両者の枠組みの整合性を示唆する。
• コホモロジーのホモトピー不変性により、動的トレース公式は $s$ に依存しない。これは、$L$-関数の振るまいと幾何的データを結びつけるためにその利用が妥当であることを支持する。
• 動的および算術的トレース公式の比較により、動的系のコホモロジーが算術的スキームのモチーフ的コホモロジーを実現する可能性があるというヒューリスティックな証拠が得られる。