[論文レビュー] Analytic Solution of Linear Fractional Differential Equation with Jumarie Derivative in Term of Mittag-Leffler Function

Uttam Ghosh, Srijan Sengupta+2 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ジュマリエの導出を用いた線形分数階微分方程式の解析的解法を提示し、解を1パラメータのミタグ・レフラー関数で表現する。この手法は、古典的微積分における指数関数とミタグ・レフラー関数の間の直接的な類似性を確立し、導出されたアルゴリズム的枠組みを通じて、このような方程式の体系的解法を可能にする。

ABSTRACT

There is no unified method to solve the fractional differential equation. The type of derivative here used in this paper is of Jumarie formulation, for the several differential equations studied. Here we develop an algorithm to solve the linear fractional differential equation composed via Jumarie fractional derivative in terms of Mittag-Leffler function; and show its conjugation with ordinary calculus. In these fractional differential equations the one parameter Mittag-Leffler function plays the role similar as exponential function used in ordinary differential equations.

研究の動機と目的

• Jumarieの導出を含む線形分数階微分方程式を体系的に解くための手法を開発すること。
• Jumarieの定式化を用いた分数階微積分と古典的微積分の間の関係を確立すること。
• 1パラメータのミタグ・レフラー関数が、通常の微分方程式における指数関数と同様に自然な解の基底を形成することを示すこと。
• ミタグ・レフラー関数を用いた、このような方程式を解くためのアルゴリズム的アプローチを提供すること。

提案手法

• 本稿は、非微分可能関数に適した一貫性のある微積分フレームワークを提供するジュマリエの分数階微分の定式化を採用する。
• 1パラメータのミタグ・レフラー関数 Eα(z) の性質に基づく解法アルゴリズムを導入し、線形分数階微分方程式を解く。
• ラプラス変換技術を活用して、ミタグ・レフラー関数が基本的解成分として現れる閉形式の解を導出する。
• 分数階数 α が 1 に近づく極限において、古典的微積分と一貫性を示すことで、手法の妥当性を検証する。
• ジュマリエの導出下でのミタグ・レフラー関数に関する重要な恒等式を導出し、解析的取り扱いの可能性を高める。
• 解法フレームワークを具体的な線形分数階微分方程式に適用し、実用的有用性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Jumarieの導出を用いた線形分数階微分方程式を、特殊関数を用いて体系的にどのように解くことができるか？
• RQ2 Jumarieの導出定式化下で、ミタグ・レフラー関数は分数階微分方程式においてどのような役割を果たすか？
• RQ3 ミタグ・レフラー関数が、通常の微分方程式における指数関数と同様の役割をどの程度果たすか？
• RQ4 ミタグ・レフラー関数を用いた、このような方程式を解くための一貫性のあるアルゴリズム的枠組みを構築できるか？
• RQ5 Jumarieの導出に基づく解法は、整数階数の極限において古典的微積分とどのように関係するか？

主な発見

• 1パラメータのミタグ・レフラー関数 Eα(z) は、Jumarieの導出を含む線形分数階微分方程式の基本的解の基底として機能し、通常の微分方程式における指数関数と類似する。
• 提案されたアルゴリズムにより、解をミタグ・レフラー関数で表現することで、線形分数階微分方程式の解析的解法が可能になる。
• 分数階数 α が 1 に近づく極限において、古典的微積分と一貫性を示し、極限状態での妥当性が確認される。
• ラプラス変換技術により、Jumarieの導出下でミタグ・レフラー関数を含む閉形式の解が成功裏に得られる。
• フレームワークにより、特定の線形分数階微分方程式のクラスを統一的に解くアプローチが提供され、解析的取り扱いの容易さが向上する。
• 本稿は、ミタグ・レフラー関数を通じて、Jumarieの導出を用いた分数階微積分と古典的微積分の間の明確な対応関係を確立する。