[論文レビュー] Solution of System of Linear Fractional Differential Equations with Modified derivative of Jumarie Type

Uttam Ghosh, Susmita Sarkar+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2015

Fractional Differential Equations Solutions被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、ジュマリエ型変更リーマン・リウヴィル微分を用いて、線形分数階微分方程式系を解く解析的手法を提示する。マイトガール・レフラー関数および一般化された正弦・余弦関数を用いることで、整数階系に対する古典的手法に類似したアプローチが可能となり、効率的な解析的解法が得られ、複数の例を通じて図的検証が可能となる。

ABSTRACT

Solution of fractional differential equations is an emerging area of present day research because such equations arise in various applied fields. In this paper we have developed analytical method to solve the system of fractional differential equations in-terms of Mittag-Leffler function and generalized Sine and Cosine functions, where the fractional derivative operator is of Jumarie type. The use of Jumarie type fractional derivative, which is modified Rieman-Liouvellie fractional derivative, eases the solution to such fractional order systems. The use of this type of Jumarie fractional derivative gives a conjugation with classical methods of solution of system of linear integer order differential equations, by usage of Mittag-Leffler and generalized trigonometric functions. The ease of this method and its conjugation to classical method to solve system of linear fractional differential equation is appealing to researchers in fractional dynamic systems. Here after developing the method, the algorithm is applied in physical system of fractional differential equation. The analytical results obtained are then graphically plotted for several examples for system of linear fractional differential equation.

研究の動機と目的

• ジュマリエ型分数階微分を用いた線形分数階微分方程式系の解析的手法の開発。
• 特殊関数を用いて分数階系と古典的手法との間の関係を確立すること。
• 物理系への応用を行い、図的分析を用いて結果を検証すること。
• 分数階動的系を扱う上での、このアプローチの単純さと有効性を示すこと。

提案手法

• 古典的解法フレームワークとの整合性を確保するため、リーマン・リウヴィル微分の修正形であるジュマリエ型分数階微分を用いる。
• 整数階系の古典的解に類似する解法を実現するため、マイトガール・レフラー関数および一般化された三角関数（正弦および余弦）を用いて解を構築する。
• これらの特殊関数の性質を活用して、分数階微分方程式系を解ける代数的形に変換する。
• ジュマリエ微分に適応されたラプラス変換および逆ラプラス変換技術を用いて、解析的解を導出する。
• 物理系に適用し、さまざまな分数階数における解の図的プロットを生成することで、アプローチの妥当性を検証する。
• アルゴリズムを複数の例に実装・テストし、一貫性と正確性を示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジュマリエ型分数階微分は、線形分数階微分方程式の解法をどのように簡略化できるか？
• RQ2 マイトガール・レフラー関数および一般化された三角関数の使用は、どの程度古典的手法との接続を可能にするか？
• RQ3 提案手法は、図的解釈が可能な正確な解析的解を導出できるか？
• RQ4 この手法は、さまざまな物理系および分数階数において、どのように性能を発揮するか？

主な発見

• マイトガール・レフラー関数および一般化された三角関数を用いて、線形分数階微分方程式系が効果的に解かれた。
• ジュマリエ型微分の使用により、古典的手法との整合性が確保され、解釈のしやすさと応用の容易さが向上した。
• 複数の例について、解析的解の図的プロットが生成され、結果の妥当性と安定性が確認された。
• さまざまな分数階数および系構成において、計算の効率性と一貫性が示された。
• 導出された解は整数階極限において古典的解に収束し、手法の正しさが検証された。