[論文レビュー] Analytical expressions of copositivity for 4th order symmetric tensors and applications

Yisheng Song, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2019

Tensor decomposition and applications参考文献 41被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、4次対称テンソルのコポジティブおよび正定値性に関する解析的十分・必要条件を導出し、2次元および3次元の場合に焦点を当てている。真空安定性の検証を可能にする明示的・閉形式の基準を提供し、素粒子物理学におけるスカラー場のポテンシャルにおいて、2つの実スカラー場およびヒッグスボソンの文脈で有効である。これは、NP困難な多項式非負性チェックに代わる数学的に厳密かつ計算的に実行可能な代替手法を提供する。

ABSTRACT

In particle physics, scalar potentials have to be bounded from below in order for the physics to make sense. The precise expressions of checking lower bound of scalar potentials are essential, which is an analytical expression of checking copositivity and positive definiteness of tensors given by such scalar potentials. Because the tensors given by general scalar potential are 4th order and symmetric, our work mainly focuses on finding precise expressions to test copositivity and positive definiteness of 4th order tensors in this paper. First of all, an analytically sufficient and necessary condition of positive definiteness is provided for 4th order 2 dimensional symmetric tensors. For 4th order 3 dimensional symmetric tensors, we give two analytically sufficient conditions of (strictly) cpositivity by using proof technique of reducing orders or dimensions of such a tensor. Furthermore, an analytically sufficient and necessary condition of copositivity is showed for 4th order 2 dimensional symmetric tensors. We also give several distinctly analytically sufficient conditions of (strict) copositivity for 4th order 2 dimensional symmetric tensors. Finally, we apply these results to check lower bound of scalar potentials, and to present analytical vacuum stability conditions for potentials of two real scalar fields and the Higgs boson.

研究の動機と目的

• 4次対称テンソルのコポジティブおよび正定値性に関する解析的に取り扱える十分・必要条件を確立すること。
• 4次以上の多項式の非負性をチェックする問題の計算不能性（NP困難）に対処すること。
• 2つの実スカラー場およびヒッグスボソンを含むスカラー場理論における真空安定性条件の明示的解析的表現を提供すること。
• 行列の既知のコポジティブ性結果を、特に低次元における4次対称テンソルに拡張すること。
• 素粒子物理学におけるスカラー場ポテンシャルの下界有界性を検証する数学的に厳密かつ計算的に実行可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 代数的還元および対称性解析を用いて、4次2次元対称テンソルの正定値性に関する解析的十分・必要条件を導出する。
• 次元削減および次数削減技術を適用し、4次3次元対称テンソルの厳密コポジティブ性に関する2つの十分条件を導出する。
• 導出された多変数式の符号を分析することにより、4次2次元対称テンソルのコポジティブ性に関する解析的十分・必要条件を確立する。
• スカラー場ポテンシャルを4次同次多項式に変換し、テンソル積として表現する。
• 結合定数をテンソル成分にマッピングすることで、導出されたテンソルコポジティブ条件を物理的スカラー場ポテンシャルに適用する。
• 既存の物理的真空安定性条件と比較することで結果を検証し、同等または改良された結果であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元における4次対称テンソルの正定値性に関する解析的十分・必要条件は何か？
• RQ2 次元削減技術を用いて、3次元における4次対称テンソルの厳密コポジティブ性に関する十分条件を導出できるか？
• RQ3 2次元における4次対称テンソルのコポジティブ性を特徴付ける明示的解析的式は何か？
• RQ4 これらのテンソルコポジティブ条件を、素粒子物理学におけるスカラー場ポテンシャルの真空安定性条件を導出するためにどのように応用できるか？
• RQ5 導出された解析的条件は、既存の文献における結果と同等か、それ以上の性能を示す真空安定性基準をもたらすか？

主な発見

• 4次2次元対称テンソルの正定値性に関する解析的十分・必要条件が導出され、テンソル成分およびその平方根を用いて表現されている。
• 削減技術を用いて、4次3次元対称テンソルの厳密コポジティブ性に関する2つの解析的十分条件が確立された。
• 4次2次元対称テンソルのコポジティブ性に関する解析的十分・必要条件が提示され、対角成分と非対角項の組み合わせに平方根項を含むものである。
• 4次2次元対称テンソルの厳密コポジティブ性に関する複数の異なる解析的十分条件が定式化され、それぞれがテンソル成分に関する不等式を含む。
• 導出されたテンソル条件を2つの実スカラー場およびヒッグスボソンのスカラー場ポテンシャルに適用し、結合定数を用いた明示的真空安定性条件が得られた。
• Z₃スカラー暗黒物質モデルに対して、4次テンソルの厳密コポジティブ性に基づく、[25, 26]および[12]とは異なる新しい解析的真空安定性条件が導出された。