[論文レビュー] Analyzing the structure of multidimensional compressed sensing problems through coherence

Alexander Daniel Jones, Ben Adcock+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多次元圧縮センシングへの漸近的非一貫性解析を拡張し、分離可能なウェーブレットスパーシティとフーリエサンプリングを組み合わせることで、任意の次元で $N^{-1}$ の非一貫性減衰が達成されることを示している。2次元では、標準的なサンプリング方式が最適順序と両立可能である。高次元では、ウェーブレットの滑らかさが不十分な場合、より滑らかなウェーブレットが使われない限り、部分サンプリングが制限される。一方、テンソル積基底は次元性の問題により、非最適な減衰を示す。

ABSTRACT

Recently it has been established that asymptotic incoherence can be used to facilitate subsampling, in order to optimize reconstruction quality, in a variety of continuous compressed sensing problems, and the coherence structure of certain one-dimensional Fourier sampling problems was determined. This paper extends the analysis of asymptotic incoherence to cover multidimensional reconstruction problems. It is shown that Fourier sampling and separable wavelet sparsity in any dimension can yield the same optimal asymptotic incoherence as in one dimensional case. Moreover in two dimensions the coherence structure is compatible with many standard two dimensional sampling schemes that are currently in use. However, in higher dimensional problems with poor wavelet smoothness we demonstrate that there are considerable restrictions on how one can subsample from the Fourier basis with optimal incoherence. This can be remedied by using a sufficiently smooth generating wavelet. It is also shown that using tensor bases will always provide suboptimal decay marred by problems associated with dimensionality. The impact of asymptotic incoherence on the ability to subsample is demonstrated with some simple two dimensional numerical experiments.

研究の動機と目的

• 1次元から多次元圧縮センシング問題への漸近的非一貫性解析の拡張を目的とする。
• 標準的な2次元およびそれ以上の次元のサンプリングパターンが、2次元フーリエ-分離可能ウェーブレット問題における最適非一貫性減衰と両立可能かどうかを特定すること。
• ウェーブレットの滑らかさおよび基底構造（分離可能対テンソル積）が非一貫性減衰と部分サンプリング性能に与える影響を調査すること。
• 任意の次元における分離可能ウェーブレットスパーシティとフーリエサンプリングの最適順序を確立すること。
• 部分サンプリング下での再構成品質に非一貫性構造が直接的に与える影響を数値的に示すこと。

提案手法

• $d$次元連続的逆問題におけるフーリエサンプリングと分離可能ウェーブレットスパーシティから導かれる無限測定行列 $U$ の非一貫性を分析する。
• 非一貫性の漸近的性質を $\mu(P_N^\bot U) \to 0$ として定義し、$N \to \infty$ のときの減衰率を $\mu(U) = \sup_{i,j} |U_{ij}|^2$ で定量化する。
• 最適順序（基底要素のサンプリングに特化した特定の順序列）を導入・適用し、$N^{-1}$ の最速減衰を達成する。これは1次元での最適レートと一致する。
• 2次元におけるハイパボリックおよび線形サンプリングパターンを用い、分離可能およびテンソルウェーブレット基底間の性能を比較する。
• $L^1$再構成誤差を用いた数値実験により、非一貫性減衰の異なる挙動下での部分サンプリング戦略の効果を評価する。
• ウェーブレットフーリエ変換の減衰推定とハイパボリッククロスインデキングを用いた理論的境界を適用し、非一貫性減衰の下限および上限を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元圧縮センシングにおける最適 $N^{-1}$ 漸近的非一貫性減衰レートは、多次元問題へ拡張可能か？
• RQ2 標準的な2次元サンプリングパターン（例：径方向、らせん、ハイパボリック）は、2次元フーリエ-分離可能ウェーブレット問題において最適非一貫性減衰と両立可能か？
• RQ3 ウェーブレットの滑らかさは、高次元問題における最適非一貫性の達成可能性にどのように影響するか？
• RQ4 なぜテンソル積ウェーブレット基底は高次元で非最適な非一貫性減衰を示すのか？
• RQ5 非一貫性構造は、多次元圧縮センシングにおける部分サンプリング戦略の有効性にどの程度影響を与えるか？

主な発見

• フーリエサンプリングと分離可能ウェーブレットスパーシティを組み合わせることで、任意の次元で最適な $N^{-1}$ 漸近的非一貫性減衰率が達成される。これは1次元の場合と一致する。
• 2次元では、最適順序が径方向、らせん、ハイパボリックパターンなどの一般的なサンプリング方式と両立可能である。
• 3次元以上では、ウェーブレットの滑らかさが不十分（例：分離可能ハールウェーブレット）な場合、最適順序が回転不変性を欠き、標準的なパターンでは有効な部分サンプリングが制限される。
• 十分に滑らかな生成ウェーブレットを用いることで、高次元でも最適部分サンプリングと両立可能になる。
• テンソル積ウェーブレット基底は、次元性の問題により常に非最適な非一貫性減衰を示し、2次元では $1/\sqrt{N}$ 以下、高次元ではそれより悪い減衰率が上限として与えられる。
• 数値実験により、ハイパボリックサンプリングパターンでは、分離可能基底とテンソル基底の両方で類似した再構成品質が得られることが確認された。一方、線形パターンでは、$N^{-1}$ 対 $N^{-1/2}$ の非一貫性減衰の速さの差により、分離可能基底が優位である。