[論文レビュー] Anderson Localization for Quasi-Periodic CMV Matrices and Quantum Walks

Fengpeng Wang, David Damanik|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、解析的準周期的 Verblunsky係数またはコインを有する1次元のCMV行列および量子ウォークについて、正のリャプノフ指数の領域においてアンドリュー局在性を確立し、指数関数的に減少する固有関数を伴う純点スペクトルであることを証明する。この結果は、力学系とリャプノフ指数解析を用いて、ボーグァインとゴールドスタインのシュレーディンガー作用素に関する結果をユニタリなCMV設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

We consider CMV matrices, both standard and extended, with analytic quasi-periodic Verblunsky coefficients and prove Anderson localization in the regime of positive Lyapunov exponents. This establishes the CMV analog of a result Bourgain and Goldstein proved for discrete one-dimensional Schrödinger operators. We also prove a similar result for quantum walks on the integer lattice with suitable analytic quasi-periodic coins.

研究の動機と目的

• 解析的準周期的Verblunsky係数を有するCMV行列におけるアンドリュー局在性を確立し、シュレーディンガー作用素からの結果をユニタリなCMV設定へと拡張すること。
• 解析的準周期的ダイナミクス下での拡張CMV行列および量子ウォークのスペクトル性質を分析すること。
• 正のリャプノフ指数がCMV文脈において純点スペクトルと指数関数的に減少する固有関数をもたらすことを証明すること。
• 準周期的Verblunsky係数を体系的かつ包括的に取り扱うことで、単位円上の直交多項式に関する長年の未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 準周期的係数によって生成されるトーラス上のシフトの上のコサイクルを、力学系の手法で分析する。
• リャプノフ指数と加速理論を適用して、正の指数領域におけるスペクトル型を特徴付ける。
• リゾルベント恒等式とパビング性質を用いてグリーン関数の減衰を制御し、局在性を確立する。
• Verblunsky係数を介してCMV行列と単位円上の直交多項式（OPUC）との関係を活用する。
• CMV行列と量子ウォークの発展作用素のユニタリ構造を活用してスペクトル推定を得る。
• 解析的パrameter集合上でのリャプノフ指数のコンパクト性と一様有界性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リャプノフ指数が正であるとき、解析的準周期的Verblunsky係数を有するCMV行列において、アンドリュー局在性が成立するか？
• RQ2 シュレーディンガー作用素におけるスペクトル局在性結果をユニタリなCMV行列設定へと拡張できるか？
• RQ3 解析的準周期的コインを有する整数格子上の量子ウォークのスペクトル型は何か？
• RQ4 リャプノフ指数と力学系手法は、CMVフレームワークにおける局在性をどのように特徴付けるか？

主な発見

• 解析的準周期的Verblunsky係数を有するCMV行列に対して、リャプノフ指数が正である限り、スペクトルは純粋に純点的であり、指数関数的に減少する固有関数を有する。
• リャプノフ指数は、$ \lambda \in (0,1) $ に対して、$ L(\omega, S^{(E,\lambda v)}) \geq -\frac{1}{2}\ln(1-\lambda) + c_0 $ の形の一様な下界を満たし、関連する領域で正であることが保証される。
• パビング性質を用いて、グリーン関数が小さな区間で指数関数的に減衰するならば、より大きな区間でも同様に指数関数的に減衰することを示し、局在性を示す。
• 解析的準周期的コインを有する量子ウォークに対しても、同様のアンドリュー局在性結果が成り立ち、純点スペクトルと局在化した固有状態が得られる。
• 証明は、コサイクルの加速理論と解析的パrameter集合上での一様制御に依拠しており、コンパクト性と解析性を活用する。
• この結果は、シモンが予想したように、シュレーディンガーの場合と類似した期待されるスペクトル的挙動を、準周期的CMV設定で確認する。