[論文レビュー] Walk/Zeta Correspondence

Takashi Komatsu, Norio Konno+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、d次元トーラス上の幅広いクラスのウォーク（ランダムウォーク、相関付きランダムウォーク、量子ウォーク、オープン量子ランダムウォークを含む）に対して、フーリエ解析を用いてウォーク／ゼータ対応を確立する。ウォーク型ゼータ関数の明示的公式を導出し、従来のグローバー／ゼータ対応の結果を一般化するとともに、無限大サイズ極限におけるコサイン関数を含む積分表現への収束を示す。

ABSTRACT

Our previous work presented explicit formulas for the generalized zeta function and the generalized Ihara zeta function corresponding to the Grover walk and the positive-support version of the Grover walk on the regular graph via the Konno-Sato theorem, respectively. This paper extends these walks to a class of walks including random walks, correlated random walks, quantum walks, and open quantum random walks on the torus by the Fourier analysis.

研究の動機と目的

• d次元トーラス上でのグローバー／ゼータ対応を、ランダムウォーク、相関付きランダムウォーク、オープン量子ランダムウォークを含むより広いクラスのウォークへ拡張すること。
• コンノ＝サトの定理を超える、FおよびM型ダイナミクスを有するウォークの統一的枠組みを、フーリエ解析を用いて構築すること。
• ウォーク型ゼータ関数の明示的表現と、トーラスサイズN → ∞における漸近的挙動を導出すること。
• 一般化されたウォークモデル内でのオープン量子ランダムウォークを特別な場合として含めること。

提案手法

• 2d状態の離散時間ウォークを、d次元トーラス上に、シフト演算子と一般の2d×2dコイン行列Aを用いて形式化する。
• トーラスの並進対称性を活用して、ウォークダイナミクスを解析するためのフーリエ変換技術を適用する。
• ウォーク進化演算子を、射影P_jとコイン行列Aがシフト状態に作用する成分に分解する。
• 経路数え上げとスペクトル解析を経てウォーク型ゼータ関数を導出し、N → ∞の極限における積分表現を得る。
• 一様測度を[0, 2π)^dに適用し、漸近的ゼータ関数をコサイン関数を含む対数項の多重積分として表現する。
• ゼータ関数と遷移演算子のスペクトル測度の間の同等性を確立し、従来のグローバーウォークに関する結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバーウォークを超えて、ランダムウォーク、相関付きランダムウォーク、オープン量子ランダムウォークを含むトーラス上でのウォーククラスに対して、グローバー／ゼータ対応をどのように一般化できるか？
• RQ2 FおよびM型ダイナミクスを有するd次元トーラス上でのウォーククラスに対して、フーリエ解析がゼータ関数を導出する際に果たす役割は何か？
• RQ3 トーラスサイズN → ∞における、このようなウォークのウォーク型ゼータ関数の漸近的形は何か？
• RQ4 得られたゼータ関数は、トーラス上の遷移演算子またはラプラシアンのスペクトル測度とどのように関係するか？
• RQ5 無限大サイズ極限において、一般化されたゼータ関数をコサイン項を含む多重積分として表現できるか？

主な発見

• d次元トーラス上のウォーク型ゼータ関数は、極限N → ∞において、[0, 2π)^d 上のd重積分を含む表現に収束する。この積分の核はコサイン関数に依存する。
• 一般化されたゼータ関数の極限は、(1−u²)^{d−1} に、一様測度に関する積分 ∫ log{(1+u²) − (2u/d)∑_{j=1}^d cosθ_j} の指数関数を乗じた形で与えられる。
• 一般化されたイハラゼータ関数の極限は、(1−u²)^{d−1} に、同じ領域上で ∫ log{(1+(2d−1)u²) − 2u∑_{j=1}^d cosθ_j} の指数関数を乗じた形で与えられる。
• 2次元の場合、漸近的ゼータ関数は、(1−u²) に、[0,2π)² 上の二重積分 ∫∫ log{(1+u²)−u(cosθ₁+cosθ₂)} の指数関数を乗じた形に簡略化される。
• これらの結果は、トーラス上でのグローバーウォークおよびその正値サポート版に対する従来のグローバー／ゼータ対応の結果を回復・一般化する。
• この枠組みは、オープン量子ランダムウォークを特別な場合としてうまく含んでおり、非ユニタリで散乱的である非古典的量子プロセスへのゼータ関数解析の適用範囲を拡張している。