[論文レビュー] André-Oort for a Nonholomorphic Modular Function

Haden Spence|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非正則なモジュラー関数 $\chi^*$ に対して、アンドレ＝オーレト予想の類似を確立する。クェーシモジュラー関数 $\chi$ 及びその双対であるほぼ正則なモジュラー関数 $\chi^*$ に対するアックス＝リンダーマン型の結果を用い、o-極小性と点数え技術を組み合わせることで、$\Delta^{2n}$ の任意の部分多様体が、最大の $(j,\chi^*)$-特異部分多様体を有限個しか含まないことを証明する。これは、古典的なモジュラー・アンドレ＝オーレト定理を非正則なモジュラー設定に拡張するものである。

ABSTRACT

The modular case of the André-Oort Conjecture is a theorem of Andre and Pila, having at its heart the well-known modular function j. I give an overview of two other `nonclassical' classes of modular function, namely the quasimodular (QM) and almost holomorphic modular (AHM) functions. These are perhaps less well-known than j, but have been studied by various authors including for example Masser, Shimura and Zagier. It turns out to be sufficient to focus on a particular QM function $χ$ and its dual AHM function $χ^*$, since these generate the relevant fields. After discussing some of the properties of these functions, I go on to prove some Ax-Lindemann results for $χ$ and $χ^*$. I then combine these with a fairly standard method of o-minimality and point counting to prove the central result of the paper; a natural analogue of the modular André-Oort conjecture for the function $χ^*$.

研究の動機と目的

• 古典的な $j$-関数を超えて、非正則なモジュラー関数を含む設定へ、アンドレ＝オーレト予想を拡張すること。
• クェーシモジュラー関数 $\chi$ 及びその双対であるほぼ正則なモジュラー関数 $\chi^*$ に対して、アックス＝リンダーマン型の結果を確立すること。
• 任意の $\mathbb{C}^{2n}$ の部分多様体が、古典的なモジュラー・アンドレ＝オーレト定理に類似した最大の $(j,\chi^*)$-特異部分多様体を有限個しか含まないことの証明。
• $j$ と $\chi^*$ を組み合わせた場合、$\chi^*$ が豊かな算術的構造を持つ非正則なモジュラー関数であるにもかかわらず、有限性の結果が成り立つことを示すこと。

提案手法

• 論文は、$g \in \mathrm{GL}_2^+(\mathbb{Q})$ に対して $\Psi_N(\chi^*(g\tau), j(\tau), \chi^*(\tau)) = 0$ を満たすような、$\mathbb{Q}[X,Y,Z]$ に係数をもつモジュラー多項式 $\Psi_N$ を構成する。これは、$j$ に対する古典的 $\Phi_N$ を一般化するものである。
• $(j,\chi^*)$-特異部分多様体は、$\Psi_N(z_i, z_j, z_k) = 0$ および $z_i = j(\tau_i)$, $z_j = \chi^*(\tau_i)$ を満たすような多様体の既約成分として定義される。ここで $\tau_i$ は特異モジュラー値および測地的関係を表す。
• 証明は、ピラとツァニエの戦略に従い、o-極小性と点数え技術に依拠し、部分多様体内の特異点の密度を制御する。
• $\chi$ 及び $\chi^*$ に対して、アックス＝リンダーマン型の結果を証明し、$\mathcal{H}^n$ の代数的部分多様体が与えられた $V \subseteq \mathbb{C}^{2n}$ に写される場合、それらが弱く $\mathcal{H}$-特異多様体の有限個の平行移動に含まれることを示す。
• 鍵となるステップは、$\pi^{-1}(V)$ のすべての最大の弱く $\mathcal{H}$-特異部分多様体が、有限個の基本的 $\mathcal{H}$-特異多様体の平行移動であることを示すことである。これはピラの命題10.2に類似した結果を用いる。
• 帰納的議論が用いられ、基本的 $(j,\chi^*)$-特異多様体の平行移動を分析し、翻訳パrameterの多様体に帰納的仮定を適用することで、次元を低くする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正則なモジュラー関数 $\chi^*$ を含む設定において、アンドレ＝オーレト予想を拡張することは可能か？
• RQ2 クェーシモジュラー関数 $\chi$ 及びその双対 $\chi^*$ に対して、アックス＝リンダーマン型の結果が成り立つか？
• RQ3 モジュラー多項式 $\Psi_N$ を用いて定義される $(j,\chi^*)$-特異部分多様体は、十分に構造的であるため、$\mathbb{C}^{2n}$ の部分多様体において有限性が保証されるか？
• RQ4 o-極小性と点数え技術を用いて、与えられた多様体 $V \subseteq \mathbb{C}^{2n}$ における最大の $(j,\chi^*)$-特異部分多様体の有限性は証明可能か？

主な発見

• 任意の部分多様体 $V \subseteq \mathbb{C}^{2n}$ に対して、最大の $(j,\chi^*)$-特異部分多様体が有限個であることを証明した。これは、モジュラー・アンドレ＝オーレト予想の非正則な類似を確立するものである。
• アックス＝リンダーマン型の結果を $\chi$ 及び $\chi^*$ に対して確立し、$\mathcal{H}^n$ の代数的部分多様体が $V$ に写される場合、それらが有限個の基本的 $\mathcal{H}$-特異多様体の平行移動に含まれることを示した。
• モジュラー多項式 $\Psi_N$ を明示的に構成し、$g \in \mathrm{GL}_2^+(\mathbb{Q})$ で行列式が $N$ である場合に $\Psi_N(\chi^*(g\tau), j(\tau), \chi^*(\tau)) = 0$ を満たすことを証明した。これは、$j$ に対する古典的 $\Phi_N$ を一般化するものである。
• 基本的 $(j,\chi^*)$-特異多様体の平行移動パrameterの有限性に依拠する帰納的議論により、次元を低くする方法を用い、問題を低次元のケースに還元した。
• 結果として、$\mathbb{C}^n$ 内の $\chi^*$-特異部分多様体も有限個であることが、自然な埋め込みを介して $\mathbb{C}^{2n}$ に示された。
• 主な技術的革新は、$\chi^*$ の非正則な設定に、o-極小性と点数えの枠組みを適応させ、アンドレ＝オーレト定理の適用範囲を拡張した点にある。