[論文レビュー] Andreotti-Mayer loci and the Schottky problem

Ciro Ciliberto, Gerard van der Geer|ArXiv.org|Jan 12, 2007

Crystal structures of chemical compounds参考文献 29被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、 principally polarized abelian varieties の moduli space $\mathcal{A}_g$ 内の Andreotti-Mayer の分岐 $N_{g,1}$ の余次元について下界を確立し、それがちょうど genus 4 におけるハイパーオーバル曲線分岐と genus 5 におけるヤコビアン分岐によって達成されることを証明する。著者たちは、これらの分岐がコンパクト化された moduli space の境界と交わる様子を分析し、次元 $k$ の部分多様体に沿って theta divisor とその平行移動が接して退化する点をパラメトライズする新しい分岐 $N_k(B,\Xi)$ を導入し、これにより、精緻化された Schottky 問題の特徴付けに関する証拠を提供する。

ABSTRACT

We prove a lower bound for the codimension of the Andreotti-Mayer locus N_{g,1} and show that the lower bound is reached only for the hyperelliptic locus in genus 4 and the Jacobian locus in genus 5. In relation with the boundary of the Andreotti-Mayer loci we study subvarieties of principally polarized abelian varieties (B,Theta) parametrizing points b such that Theta and the translate Theta_b are tangentially degenerate along a variety of a given dimension.

研究の動機と目的

• principally polarized abelian varieties の moduli space $\mathcal{A}_g$ 内の Andreotti-Mayer 分岐 $N_{g,1}$ の余次元について下界を確立すること。
• コンパクト化された moduli space $\tilde{\mathcal{A}}_g$ の境界との Andreotti-Mayer 分岐の交わりを調査すること、特に $(g-1)$ 次元の abelian variety と $\mathbb{G}_m$ の拡大として得られる半代数的多様体に注目すること。
• 任意の principally polarized abelian variety $(B,\Xi)$ に対して、$N_k(B,\Xi) \subset B$ を定義し、$\Xi$ とその平行移動 $\Xi_b$ が次元 $k$ の部分多様体に沿って接して退化する点 $b$ の集合として考察すること。
• これらの新しい分岐 $N_k(B,\Xi)$ の余次元に基づくヤコビアンおよびハイパーオーバルヤコビアンの予想される特徴付けに証拠を提供し、Schottky 問題に対する境界に基づくアプローチを提示すること。

提案手法

• 著者たちは、次元 $g$ の compactified 半代数的多様体に対応する境界点を持つ、moduli space $\mathcal{A}_g$ の特別なコンパクト化 $\tilde{\mathcal{A}}_g$ を用いる。
• それぞれの $(g-1)$ 次元の principally polarized abelian variety $B$ に対して、Andreotti-Mayer 分岐 $N_{g,k}$ の境界での挙動を分析し、$B$ との交わりを考察する。
• 各 $B$ に対して、$\Xi$ とその平行移動 $\Xi_b$ が次元 $k$ の部分多様体に沿って接して退化する点 $b$ の集合として、$N_k(B,\Xi) \subset B$ を定義する。
• universal abelian variety $\mathcal{X}_g \to \mathcal{A}_g$ 上の universal theta divisor $\Theta$ の幾何学を用い、Riemann theta 関数とその零点集合を用いて主偏極を定義する。
• 特に、基底の位置と特異な成員を有するペンキルの線形系の構造を用いて、接して退化する条件を分析し、重複度を計算する。
• 重要な技術的道具は、線形系 $\mathcal{L}$ 内の二次曲面の頂点をパラメトライズする多様体 $V_{\mathcal{L}}$ であり、特定の条件下でこれが有理正規曲線であることが示され、余次元推定が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Andreotti-Mayer 分岐 $N_{g,1}$ の $\mathcal{A}_g$ 内の最小可能な余次元は何か？ そして、どの既約成分がこの境界を達成するか？
• RQ2 Andreotti-Mayer 分岐 $N_{g,k}$ は、コンパクト化された moduli space $\tilde{\mathcal{A}}_g$ の境界とどのように交わるか？
• RQ3 principally polarized abelian variety $(B,\Xi)$ に対して、$\Xi$ と $\Xi_b$ が $k$ 次元の部分多様体に沿って接して退化するとき、$N_k(B,\Xi) \subset B$ の幾何的意味は何か？
• RQ4 Schottky 問題は、$N_k(B,\Xi)$ の余次元を用いて再定式化できるか？ 特に単純な abelian variety に対しては？
• RQ5 $N_k(B,\Xi)$ が $B$ 内で余次元 $k+1$ をとる条件は何か？ そして、これは $B$ の性質に何を示唆するか？

主な発見

• Andreotti-Mayer 分岐 $N_{g,1}$ の $\mathcal{A}_g$ 内の余次元は下界を持つが、この下界はちょうど genus 4 におけるハイパーオーバル曲線分岐と genus 5 におけるヤコビアン分岐によって達成される。
• $N_k(B,\Xi) \subset B$ は、点 $b \in B$ の集合として定義され、$\Xi$ とその平行移動 $\Xi_b$ が次元 $k$ の部分多様体に沿って接して退化する。この分岐は $B$ の幾何学に内在的である。
• 一般の $(g-1)$ 次元 abelian variety $(B,\Xi)$ に対して、$N_k(B,\Xi)$ が $B$ 内で余次元 $k+1$ をとるための必要十分条件は、$k = g-3$ のとき $B$ がヤコビアンであること、$k = g-2$ のとき $B$ がハイパーオーバルヤコビアンであることである。
• $N_{g,k}$ と $\tilde{\mathcal{A}}_g$ の境界との交わりの研究は、$N_k(B,\Xi)$ の余次元に基づくヤコビアンおよびハイパーオーバルヤコビアンの新しい予想的特徴付けに繋がる。
• 線形系 $\mathcal{L}$ 内の二次曲面の頂点をパラメトライズする多様体 $V_{\mathcal{L}}$ は、一般位置の仮定の下で有理正規曲線であることが示され、ペンキル内の特異な二次曲面の数え上げにおける重複度の計算に不可欠である。
• 一般部分空間への制限されたペンキル内の特異な二次曲面の重複度は、頂点が部分空間と交わる二次曲面では正確に 2 であり、ランクが低い二次曲面では $h - r$ であることが示され、特異成員の正確な数え上げが可能になる。