[論文レビュー] Annihilation and creation operators in non-Hermitian supersymmetric quantum mechanics

Miloslav Znojil|ArXiv.org|Dec 1, 2000

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、特異な遠心項の障壁を正則化するために複素座標のシフトを導入することで、Wittenの超対称的量子力学をD>1次元の非ヒルベルト的、PT対称な調和振動子へ一般化する。新たな創出・消滅演算子を2階微分作用素として構成し、スペクトル構造を保存するとともに形状不変超対称性を実現する。主な結果として、非等間隔のスペクトルと、非整数α ≠ 0,1,2,…に対しても安定な状態間の写像が得られる。

ABSTRACT

Harmonic oscillators with a centrifugal spike are analysed, via a non-Hermitian regularization, within a complexified SUSY quantum mechanics. The formalism enables us to construct the factorized creation and annihilation operators. We show how the real though, generically, non-equidistant spectrum complies with the current SUSY-type isospectrality and degeneracy in an unusual way.

研究の動機と目的

• 遠心項を伴う高次元特異調和振動子へ、Wittenの超対称的量子力学を拡張すること。
• 標準的超対称性が特異ポテンシャルで破綻することを、複素座標のシフトによるPT対称正則化で解消すること。
• 非ヒルベルト的で形状不変な系において、非等間隔スペクトルを持つ創出・消滅演算子の整合的枠組みを構築すること。
• PT対称性が特異性が存在しても実離散スペクトルを保ち、安定な状態写像を可能にすることを示すこと。
• 準パリティβ = ±αの役割と、非整数αにおける簡約性の欠如が超対称構造に与える影響を明確にすること。

提案手法

• 特異な遠心ポテンシャルを正則化するために、複素座標のシフトr = x − iεを導入する。
• α = (D−2)/2 + ℓ + ω > 0を満たすPT対称ハミルトニアンH^(α)を定義し、PT対称性により実で離散的スペクトルを保証する。
• パrameterがシフトされたハミルトニアンH^(α)とH^(α±1)の間を移動する演算子A^(γ)とB^(γ)を用いて、形状不変超対称性を構築する。
• 1階超対称生成子の積として得られる2階微分作用素A(α)とA†(α)を導出し、エネルギー準位間の遷移を可能にする。
• 退化超幾何関数を用いて径方向シュレーディンガー方程式を解き、非ヒルベルト系におけるノルムに類似した擬似ノルムを定義する。
• ε → 0の極限処理を実施し、ヒルベルト系への回復を図りつつ、非整数αに対してもスペクトル構造を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ヒルベルト的でスパイク付き調和振動子がD>1次元に及ぶ超対称性を、どのように一貫して拡張できるか？
• RQ2 複素座標のシフトが特異ポテンシャルを正則化しつつ、実スペクトルを保つ役割は何か？
• RQ3 非等間隔で非ヒルベルト系における創出・消滅演算子は、標準的調和振動子とどのように異なるか？
• RQ4 非整数αおよび非整数β = ±αの下で、超対称的パートナーハミルトニアンが等スペクトルを保つ条件は何か？
• RQ5 非整数α ≠ 0,1,2,…を持つPT対称系において、形状不変超対称性を保持できるか？

主な発見

• 複素座標のシフトr = x − iεによるPT対称正則化により、すべてのα > 0に対してエネルギー準位の実数性と離散性が保持される。
• 創出・消滅演算子は2階微分作用素A(α)とA†(α)として構成され、準位間遷移の行列要素はc₅(n,β) = −4√[(n+1)(n+β+1)]で与えられる。
• 非整数α ≠ 0,1,2,…に対しても、超対称性は破れず、形状不変であり、左・右パートナーの基底状態間の写像は安定である。
• A(α)とA†(α)はα = 1/2近傍で滑らかであり、変換r = exp(2y)の下で1階微分形式に簡約され、モース型ハミルトニアンを形成する。
• 負のβに対しても、H_(L)およびH_(R)パートナーの最低準位は正規化可能であり、非等間隔スペクトルにおいても自発的破れは生じない。
• 整数αでは特異点（エクセプショナルポイント）が出現し、ジョルダンブロック構造を示すが、これらは主解析から除外され、スペクトルの非簡約性を保つために用いられる。