[論文レビュー] Anomalies of $(1+1)D$ categorical symmetries

Carolyn Zhang, Clay Córdova|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2023

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 30

ひとこと要約

PaperはDrinfeld centersと磁気Lagrangian代数を用いたbulk (2+1)Dアプローチを導入し、(1+1)Dの融合カテゴリ対称性の異常を検出する。Tambara-Yamagamiカテゴリからの障害物と例を含む。

ABSTRACT

We present a general approach for detecting when a fusion category symmetry is anomalous, based on the existence of a special kind of Lagrangian algebra of the corresponding Drinfeld center. The Drinfeld center of a fusion category $\mathcal{A}$ describes a $(2+1)D$ topological order whose gapped boundaries enumerate all $(1+1)D$ gapped phases with the fusion category symmetry, which may be spontaneously broken. There always exists a gapped boundary, given by the \emph{electric} Lagrangian algebra, that describes a phase with $\mathcal{A}$ fully spontaneously broken. The symmetry defects of this boundary can be identified with the objects in $\mathcal{A}$. We observe that if there exists a different gapped boundary, given by a \emph{magnetic} Lagrangian algebra, then there exists a gapped phase where $\mathcal{A}$ is not spontaneously broken at all, which means that $\mathcal{A}$ is not anomalous. In certain cases, we show that requiring the existence of such a magnetic Lagrangian algebra leads to highly computable obstructions to $\mathcal{A}$ being anomaly-free. As an application, we consider the Drinfeld centers of $\mathbb{Z}_N imes\mathbb{Z}_N$ Tambara-Yamagami fusion categories and recover known results from the study of fiber functors.

研究の動機と目的

• (1+1)Dにおける融合カテゴリ対称性の't Hooft異常を動機づけ、分類する
• Z[A]における磁気Lagrangian代数を用いたbulk (2+1)Dの基準を開発し、異常を検出する
• 中心のボースン含有量およびファイバーファンクターのデータに関連する障害から異常のExistenceを結びつける
• この枠組みをTambara-Yamagami fusionカテゴリ、特にZ_N×Z_Nの場合に適用し、ファイバーファンクターから既知の結果を回復する
• 非異常 vs 異常な融合カテゴリ対称性に関するエッジベース対 bulkベースの視点を描く

提案手法

• 融合カテゴリAのDrinfeld中心Z[A]を用いて、対称性Aをもつ(1+1)D相を列挙するギャップあり境界を持つ(2+1)Dトポロジカル秩序を記述する
• 全対称性が破れた境界を記述するelectric Lagrangian代数L_eと、対称でギャップのある境界を記述する磁気Lagrangian代数L_mを同定する
• L_eと自明に交わらないL_mのZ[A]における存在を要求して異常-freeを証明する；L_mへの障害は異常を意味する
• Lagrangian代数の性質およびTQFTのボソン含有量（例: ボソンの数）から異常-free性への計算可能な障害を導出する
• Tambara-YamagamiカテゴリTY_G^χ,εを分析し（特にG ≅ Z_N × Z_Nの場合、N=2およびN>2、N odd）、既知のファイバーファンクターの結果と比較する
• アーベル中心と非アーベル中心、およびそれに関連する境界の凝縮とLagrangian部分群を議論する

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 融合カテゴリ対称性Aは、対称でギャップのある(1+1)D境界を生み出す磁気Lagrangian代数L_mをZ[A]に持つのはいつか？
• RQ2 Z[A]におけるL_mの存在障害をすべてのLagrangian代数を構成せずに効率的に計算してAの異常を検出できるか？
• RQ3 Tambara-Yamagamiカテゴリ、特にTY_{Z_N×Z_N}^{χ,ε}は磁気Lagrangian代数基準の下でどのように異常を示すか、または異常なしの挙動を示すか？
• RQ4 ファイバーファンクター、Lagrangian代数、(1+1)D SPTsがAを実現する存在の関係は何か？
• RQ5 可逆対称性と非可逆対称性がDrinfeld中心の枠組みでどのように異常として現れるか？

主な発見

• 融合カテゴリ対称性Aは、Z[A]がL_eと自明に交わる磁気Lagrangian代数L_mを受け入れる場合に異常なしである。
• L_mの存在障害は、L_mの全構成なしでも異常の高度に計算可能な基準をもたらす。
• アーベル中心Z[Vec_G^ω]では、タイプIおよびタイプIIコサイクルの一部が異常を生み、既知のコサイクル分類と一致する。
• G = Z_N × Z_NのTambara-Yamagamiカテゴリでは、NとF記号の特定の選択が以前の結果と整合する異常を生じさせる。
• 明示的な（例示的な）例は、Vec_{Z_2}^ωが自明なωでは異常なしだが非自明なωでは異常であることを、対応するZ中心の磁気Lagrangian部分群の有無によって示す。
• この枠組みは、(1+1)D SPT分類と異常構造をbulk (2+1)Dトポロジカル秩序とそのギャップ境界に結びつける。