[論文レビュー] Anomalies of discrete symmetries in various dimensions and group cohomology

Anton Kapustin, Ryan Thorngren|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用数 92

ひとこと要約

本稿は、群コhomologyおよびトポロジカルゲージ理論を用いて、2次元、3次元、4次元のスパコンフォーストのボソン的量子場理論における離散的全称対称性の異常を体系的に研究している。異常は、全称対称性Gをゲージ群Dによって非自明に拡張した総称対称性のとき生じ、Dijkgraaf-Witten理論からの異常流入によってキャンセル可能かどうかを特定している。その結果、自由フェルミオン理論が許容する範囲を超えて、非二次的・非三乗的項を含む一般異常が存在することが明らかになった。

ABSTRACT

We study 't Hooft anomalies for discrete global symmetries in bosonic theories in 2, 3 and 4 dimensions. We show that such anomalies may arise in gauge theories with topological terms in the action, if the total symmetry group is a nontrivial extension of the global symmetry by the gauge symmetry. Sometimes the 't Hooft anomaly for a d-dimensional theory with a global symmetry G can be canceled by anomaly inflow from a (d+1)-dimensional topological gauge theory with gauge group G. Such d-dimensional theories can live on the surfaces of Symmetry Protected Topological Phases. We also give examples of theories with more severe 't Hooft anomalies which cannot be canceled in this way.

研究の動機と目的

• 2次元、3次元、4次元のボソン的理論における離散的全称対称性の't Hooft異常発生の原因と分類を理解すること。
• このような異常が(d+1)次元のトポロジカルゲージ理論からの異常流入によってキャンセル可能かどうかを明確にすること。
• 流入によってキャンセルできない異常を同定し、それらが対称性強化トポロジカル（SET）相の表面に現れる可能性があること、SPT相ではなくそれらに由来する可能性を示すこと。
• ボソン的理論における一般異常が、自由フェルミオン系で実現できない高次項（例：五次式）を含み得ることを示すこと。

提案手法

• d+1次元のDijkgraaf-Wittenトポロジカルゲージ理論を用いて異常流入をモデル化し、H^{d+1}(BG, U(1))の要素によって分類する。
• 作用にトポロジカル項を含むゲージ理論を分析し、全称対称性Gをゲージ群Dによって非自明に拡張することにより異常が生じることを示す。
• 群コhomologyおよび分類空間BGを用いて異常を分類し、特にH^{d+2}(BG, Z)およびH^{d+1}(BG, U(1))を用いて異常を分類する。
• U(1)ゲージ場と周期的スカラー場を含む4次元および5次元の明示的作用を構築し、DBコhomologyを用いて作用のゲージ不変性を保証する。
• 作用のゲージ変動を導出し、異常を同定し、バックグラウンドゲージ場および対称性変換に依存することを示す。
• 対称および反対称テンソル（K^{ijk}, L^{ijkl}, M^{ijklm}）を用いて5次元および4次元における一般トポロジカル作用をパラメータ化し、量子理論として適切に定義されるために整数性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボソン的理論における離散的全称対称性がどのような条件下で't Hooft異常を示すか？
• RQ2 このような異常が(d+1)次元のDijkgraaf-Witten理論からの異常流入によってキャンセル可能となる条件は何か？
• RQ3 自由フェルミオン系で実現できないボソン的理論における異常はどのような種類のものか？
• RQ4 全称対称群の非アーベル拡張が異常構造に与える影響は何か？
• RQ5 標準的なチェーン＝シモンズ形式を超えて、高次項（例：五次式）が異常において果たす役割は何か？

主な発見

• ボソン的理論における離散的対称性の異常は、フェルミオン的理論が偶数次元に制限されるのとは異なり、偶数次元および奇数次元の両方で存在しうる。
• 異常は、Gのゲージ場にのみ依存する場合に限り、(d+1)次元のDijkgraaf-Witten理論からの異常流入によってキャンセル可能であり、これはH^{d+1}(BG, U(1))によって分類される。
• 4次元においては、ゲージ場および周期的スカラー場の五形式項を含むトポロジカル作用から五次異常が生じ、これは自由フェルミオン系では実現不可能である。
• 4次元におけるG = Z_n^Nの一般異常は、M^{ijklm}テンソルから生じる非三乗項（例：五次項）を含み、これはすべての異常がカイラルフェルミオン異常から生ずるわけではないことを示している。
• アーベルなGの場合、4次元における最も一般な異常はゲージ場に関して五次式であるが、自由フェルミオン異常は三乗式に限られるため、異常構造に根本的な違いがあることが示された。
• 本稿では、K^{ijk}、L^{ijkl}、M^{ijklm}テンソルを含む5次元のDijkgraaf-Witten理論を構築し、K項のみがチェーン＝シモンズ形式を持つことを示した。これは、一般異常がU(1)^N異常をコンパクト化によって還元できないことを示唆している。