[論文レビュー] Symmetry Protected Topological Phases, Anomalies, and Cobordisms: Beyond Group Cohomology

Anton Kapustin|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2014

Topological Materials and Phenomena参考文献 13被引用数 177

ひとこと要約

本稿では、有限な内部対称性群をもつボソン的対称性保護トポロジカル（SPT）相が、分類空間 $BG_0$ の次数-$d$ の向き付き bordism 群の torsion 部分群のポントリャーギン双対によって分類されることを提案する。これは群コホモロジー分類を精緻化するものである。$d \leq 6$ の場合、bordism 分類は群コホモロジーを厳密に上回り、特に $d=4$ でこれまで見逃されていた SPT 相を捉えることができ、異常流入を介して低次元における異常と関連づけられる。

ABSTRACT

We propose that Symmetry Protected Topological Phases with a finite symmetry group G are classified by cobordism groups of the classifying space of G. This provides an explanation for the recent discovery of bosonic SPT phases which do not fit into the group cohomology classification. We discuss the connection of the cobordism classification of SPT phases to gauge and gravitational anomalies in various dimensions.

研究の動機と目的

• 時間反転対称性をもつ特定の 4D ボソン的 SPT 相が群コホモロジーで分類できない理由を解消すること。
• $U(1)$ 係数をもつ向き付き bordism 群を用いて、相互作用を考慮したボソン的 SPT 相のより精緻な分類を提供すること。
• 異常流入を介して、SPT 相と低次元における異常との関係を明確にすること。
• 時間反転対称性をもつ系への分類を拡張するために、$\rho$-twisted 係数をもつ twisted bordism を導入すること。
• 高次スタイフェル＝ブライトン類 ($w_2^2$, $w_4$) が、群コホモロジーでは捉えきれない新しい SPT 相を支えることができることを示すこと。

提案手法

• 分類空間 $BG_0$ の向き付き bordism 群 $\Omega_{SO,d}(BG_0)$ の torsion 部分群のポントリャーギン双対を用いて SPT 相を分類し、$\Omega^{d}_{SO}(BG_0, U(1)) / \mathrm{im}\, e$ と表記する。
• 時間反転要素をもつ対称性群 $G$ に対して、$\rho: G \to \mathbb{Z}_2$ が twist を定義する twisted bordism 群 $\Omega^{d}_{SO}(BG, U(1)^\rho)$ を導入する。
• トム準同型を用いて群コホモロジー $H^d(BG, U(1))$ と bordism 分類を関連づけ、この写像が単射でも全射でもないことを示す。
• 異常流入を用いて異常を分析する：$d$ 次元における SPT 相は、非自明な分配関数をもつ $d-1$ 次元の「異常理論」と対応する。
• 特に $d=4$ および $d=5$ において、スタイフェル＝ブライトン類 $w_2$, $w_3$, $w_4$ を用いた位相的作用を構築して SPT 相を記述する。
• 境界異常キャンセレーションによる整合性の確認：バルク作用の変動は、$w_2$ および $w_3$ に結合する境界作用によってキャンセルされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ ${\mathbb{Z}}_2^T$ 対称性をもつ特定の 4D ボソン的 SPT 相が群コホモロジーでは分類できないのか？
• RQ2 bordism 群が群コホモロジーを上回るより包括的な SPT 相分類をどのように提供できるのか？
• RQ3 高次スタイフェル＝ブライトン類が、SPT 相の位相的作用を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ4 SPT 相は異常流入を介して低次元理論における異常とどのように関係するのか？
• RQ5 bordism 分類が群コホモロジー分類を精緻化するか、あるいはそれと異なる条件は何か？

主な発見

• bordism 分類は、$w_2^2$ や $w_4$ を含む、群コホモロジーでは記述されない 4D SPT 相を捉える。
• $d \leq 6$ の場合、bordism 分類は群コホモロジーを厳密に上回り、コホモロジーから bordism への写像は単射でも全射でもない。
• $d=4$ では、$H^4(BG, U(1))$ では捉えきれないスタイフェル＝ブライトン類の非自明な組み合わせから新たな SPT 相が生じる。
• 時間反転対称性をもつ SPT 相の分類には、純粋に torsion であるため、実係数による商をとる必要のない twisted bordism 群 $\Omega^{d}_{SO}(BG, U(1)^\rho)$ が必要となる。
• 提案された 4D SPT 相の $\mathbb{C}\mathbb{P}^2$ 上の分配関数は $-1$ になると予測され、自明な相と区別される。
• $d=3$ および $d=4$ の境界異常は、$w_2$ および $w_3$ を含む $\mathbb{Z}_2$ 位相的ゲージ理論の作用に結合することでキャンセルされる。