[論文レビュー] Anomalous Dissipation in Passive Scalar Transport

Theodore D. Drivas, Tarek M. Elgindi+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、トーラス上に明示的で滑らかな非圧縮性速度場を構築し、その場で受動スカラー輸送において異常なエネルギー散逸を引き起こす。これは、拡散係数 κ → 0 の極限においても散逸が0から離れて有限に保たれることを意味する。主な結果は、ラプラシアン固有関数に近い初期データに対して、粘性散逸率 κ∫|∇θᴷ|²dxdt が κ に依存しない正の定数で一様に下から抑えられることを示しており、C¹⁻ Hölder連続なドリフトを持つ輸送方程式の解の非一意性を示している。

ABSTRACT

We study anomalous dissipation in hydrodynamic turbulence in the context of passive scalars. Our main result produces an incompressible $C^\infty([0,T) imes \mathbb{T}^d)\cap L^1([0,T]; C^{1-}(\mathbb{T}^d))$ velocity field which explicitly exhibits anomalous dissipation. As a consequence, this example also shows non-uniqueness of solutions to the transport equation with an incompressible $L^1([0,T]; C^{1-}(\mathbb{T}^d))$ drift, which is smooth except at one point in time. We also provide three sufficient conditions for anomalous dissipation provided solutions to the inviscid equation become singular in a controlled way. Finally, we discuss connections to the Obukhov-Corrsin monofractal theory of scalar turbulence along with other potential applications.

研究の動機と目的

• 受動スカラー輸送方程式において異常散逸を引き起こす決定論的で滑らかな非圧縮性速度場の存在を示すこと。
• 異常散逸の文脈において、 Hölder正則性の鋭い閾値、特に C¹⁻(𝕋ᵈ) に属するドリフト場で α < 1 の場合の正則性指数 α の鋭さを確立すること。
• 特異性が制御された方法で発現する非粘性輸送方程式の解が、κ → 0 の極限においても非ゼロの粘性散逸を生じるような十分条件を提示すること。
• 結果をObukhov-Corrsinのスカラー乱流の単一フラクタル理論と結びつけ、非線形ナビエ＝ストークス問題への影響を検討すること。
• 速度場が単一の時刻で正則性を失しても、散逸率が0から離れて保たれることを示し、輸送方程式の解の非一意性を証明すること。

提案手法

• 時間に依存する、細かくスケールされた構造を有する、C∞([0,T)×𝕋ᵈ) ∩ L¹([0,T];Cα(𝕋ᵈ)) に属する発散なし速度場 u を構築し、乱流のスケーリングを模倣する。
• 調和関数（例：sin(Mx)sin(Ly) など）に基づく時間依存の多スケール構成を用い、スケールの小さい特徴を生成することでスカラー勾配の生成を促進する。
• C Constantin-E-Titi [CET94] にインspired された滑らかさ化と交換子推定の枠組みを用い、スカラーおよび速度場の Hölder 正則性を用いて粘性散逸率の上界を評価する。
• 粗視化されたスカラーとそのフラックスを含むエネルギー保存恒等式を導出し、次式を用いる： κ∫|∇θᴷ|²dxdt = ∫τℓ(θᴷ,θᴷ)dxdt + κ∫|∇θ̄ᴷ,ℓ|²dxdt + 低次の項。
• 滑らかさ化スケール ℓ = κ¹/(α+1) を最適化し、散逸上界における競合する項をバランスさせ、一様な下界 χα > 0 を得る。
• 弱解が単一の時刻での正則性喪失を示しても依然として異常散逸を示すことを示すことで、輸送方程式の解の非一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 κ → 0 の極限において、粘性散逸が0から離れて有限に保たれるような明示的で滑らかな非圧縮性速度場を構築できるか？
• RQ2 異常散逸が発生するための、速度場の正則性の鋭い閾値（Hölder指数 α として）は何か？
• RQ3 速度場が単一の時刻で正則性を失う（例：u ∈ L¹([0,T];Cα(𝕋ᵈ)) で α < 1）場合、輸送方程式の解に非一意性が生じるか？
• RQ4 非粘性解に制御された特異性が存在する場合、異常散逸を保証できるか？
• RQ5 スカラー正則性において α = 1 − ε かつ β = 0 の端点ケースにおいて、Obukhov-Corrsin の単一フラクタル理論は鋭いか？

主な発見

• 任意の α ∈ [0,1) に対して、C∞ で発散なしの速度場 u ∈ L¹([0,T];Cα(𝕋ᵈ)) が存在し、非定数のラプラシアン固有関数に近い初期データ θ₀ ∈ H²(𝕋ᵈ) に対して、粘性散逸が κ∫₀ᵀ|∇θᴷ|²dxdt ≥ χα|θ₀|²_{L²} を満たし、χα > 0 は κ に依存しない。
• 速度場が Hölder 連続で指数 α < 1 である場合でも、散逸率が一様に下から抑えられることを示しており、α = 1 が鋭い閾値であることを証明している：α = 1 の場合、異常散逸は消える必要がある。
• 初期データに依存する構成により、速度場と散逸率 χα(θ₀) > 0 を得られ、任意の平均ゼロの θ₀ ∈ H²(𝕋ᵈ) に対して同じ下界が成り立つが、その場と率は初期データに依存する。
• この構成により、単一の時刻を除いて滑らかで、L¹([0,T];C¹⁻(𝕋ᵈ)) に属する非圧縮性ドリフトを持つ輸送方程式の弱解の非一意性が示された。
• この手法により、非粘性解の制御された発散のブロー・アップに基づく異常散逸の十分条件を確立し、Obukhov-Corrsin理論と結びつけ、ナビエ＝ストークス系への類似可能性を示唆した。
• この結果により、Onsagerの予想の受動スカラー乱流版が厳密に裏付けられ、Hölder正則性が1未満であれば異常散逸が十分であることが示された。