[論文レビュー] Anosov AdS representations are quasi-Fuchsian

Quentin Mérigot|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、cocompact lattice Γ ⊂ SO₀(1,n) から SO₀(2,n) への Anosov 表現が、双曲的で、アーンストの境界における非因果的 (n−1)-球面を保存する、 quasi-Fuchsian であることを証明している。証明は、測地線フローの Anosov 動的性と、双曲的境界写像が、双曲的空間の境界を anti-de Sitter 空間のアインシュタイン境界へ位相的埋め込みすることを示す。

ABSTRACT

Let Gamma be a cocompact lattice in SO(1,n). A representation rho: Gamma o SO(2,n) is quasi-Fuchsian if it is faithfull, discrete, and preserves an acausal subset in the boundary of anti-de Sitter space - a particular case is the case of Fuchsian representations, ie. composition of the inclusions of Gamma in SO(1,n) and of SO(1,n) in SO(2,n). We prove that if a representation is Anosov in the sense of Labourie then it is also quasi-Fuchsian. We also show that Fuchsian representations are Anosov : the fact that all quasi-Fuchsian representations are Anosov will be proved in a second part by T. Barbot. The study involves the geometry of locally anti-de Sitter spaces: quasi-Fuchsian representations are holonomy representations of globally hyperbolic spacetimes diffeomorphic to the product R imes Gamma\H^n and locally modeled on the anti-de Sitter space.

研究の動機と目的

• SO₀(2,n) への Anosov 表現が、離散的で、忠実であり、反de Sitter 空間の境界における非因果的 (n−1)-球面を保存する quasi-Fuchsian であることを確立すること。
• SO₀(1,n) から SO₀(2,n) への埋め込みとしての Fuchsian 表現が Anosov であることを示し、rigidity と dynamical systems の間の基礎的つながりを完成させること。
• Anosov 性質が、双曲的空間の単位接束から反de Sitter 空間の境界への ρ-等変で双曲的な境界写像の存在を示すこと。
• 境界写像の像が、反de Sitter 空間の文脈における quasi-Fuchsian 表現を特徴付ける位相的非因果的球面であることを確立すること。

提案手法

• T¹ℍⁿ 上の測地線フロー φᵗ の Anosov 動的性を用い、商多様体 Γ\T¹ℍⁿ 上の平坦 bundle に引き上げられる。
• x ∈ ℍⁿ に応じて連続的に変化する ρ-等変な計量 gˣ を、反de Sitter 空間の境界 Einₙ 上に構成し、測地線の放射に沿って指数的増大を示す。
• ℍⁿ 内の測地線の端点を用いて、(ℓ₊, ℓ₋): T¹ℍⁿ → ∂AdSₙ₊₁ × ∂AdSₙ₊₁ \\(diagonal) という ρ-等変境界写像を定義する。
• 計量 gˣ の指数的増大性を用いて、この写像の像が平坦 bundle 内の φₜ-不変な双曲的集合であることを証明する。
• Fuchsian 表現 ρ₀ を近傍の表現に変形し、双曲的集合の構造的安定性を用いて、連続的セクションの存在を示し、ρ-等変境界写像に引き上げること。
• 境界写像 ℓ₊ と ℓ₋ が ℓ₊ = ℓ₋ ∘ α を満たすことを示し、ここで α は接ベクトルの向きを反転させる写像である。これにより、像が同一であり、位相的同相写像であることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SO₀(2,n) への Anosov 表現は、必然的に quasi-Fuchsian であるか、すなわち反de Sitter 空間の境界における非因果的 (n−1)-球面を保存するか？
• RQ2 表現の Anosov 性質は、反de Sitter 空間のアインシュタイン境界への値をとる ρ-等変で双曲的な境界写像の存在を示唆するか？
• RQ3 境界写像 ℓ₊: ∂ℍⁿ → Einₙ の像は位相的 (n−1)-球面であり、かつ非因果的か？
• RQ4 平坦 bundle 上の Γ\T¹ℍⁿ における双曲的集合の構造的安定性を用いて、Fuchsian 表現の小さな変形に対しても境界写像の存在を拡張できるか？
• RQ5 Anosov 条件が境界写像が ∂ℍⁿ から Einₙ 内の位相的球面への位相同相写像を誘導することを保証するか、これにより quasi-Fuchsian 表現が特徴づけられるか？

主な発見

• Γ → SO₀(2,n) への Anosov 表現 ρ は quasi-Fuchsian であり、離散的で、忠実であり、反de Sitter 空間の境界における非因果的 (n−1)-球面を保存する。
• Anosov 性質は、(ℓ₊, ℓ₋): T¹ℍⁿ → ∂AdSₙ₊₁ × ∂AdSₙ₊₁ \\(diagonal) という ρ-等変境界写像の存在を示し、これは平坦 bundle Eρ 上の連続的セクションに引き上げられる。
• 境界写像 ℓ₊: ∂ℍⁿ → Einₙ の像は位相的 (n−1)-球面であり、ℓ₊ と ℓ₋ は同じ像を持つ。この像は非因果的である。
• 境界写像 ℓ₊ と ℓ₋ は ℓ₊ = ℓ₋ ∘ α を満たし、ここで α は接ベクトルの向きを反転させる。これにより写像の対称性と単射性が保証される。
• 測地線の放射に沿って指数的増大を示す Einₙ 上の ρ-等変計量 gˣ の族の存在により、境界写像の像は、引き上げられたフロー φₜρ に対する双曲的集合であることが保証される。
• Fuchsian 表現が Anosov であることが示され、この文脈における Fuchsian と Anosov 表現の同値性が完成する。逆に、すべての quasi-Fuchsian 表現が Anosov であることは、Barbot の後続研究で確立されている。