[論文レビュー] Tameness of Riemannian locally symmetric spaces arising from Anosov representations

Olivier Guichard, Fanny Kassel+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、一般化および最大のサタケコンパクト化を用いて、アノソフ表現から生じるリーマン多様体の局所的に対称な空間のコンパクト化を構成する。商空間がサタケ型のコンパクト化に基づく角を持つオルビフォールドコンパクト化を備えることにより、これらの空間が位相的にきめ細やかである（境界を持つコンパクト多様体の内部に同相）ことを証明する。

ABSTRACT

We construct compactifications of Riemannian locally symmetric spaces arising as quotients by Anosov representations. These compactifications are modeled on generalized Satake compactifications and, in certain cases, on maximal Satake compactifications. We deduce that these Riemannian locally symmetric spaces are topologically tame, i.e. homeomorphic to the interior of a compact manifold with boundary. We also construct domains of discontinuity (not necessarily with a compact quotient) in a much more general setting.

研究の動機と目的

• 非格子でゼロ・イデアル的稠密な部分群から生じる無限体積のリーマン多様体の局所的に対称な空間に対するコンパクト化理論の欠如に対処すること。
• 従来、実ランク1または幾何的に有限な群に限られていた既知のコンパクト化技術を、アノソフ表現を伴う高ランクの対称空間へ拡張すること。
• このような商空間が位相的にきめ細やかである、すなわち境界を持つコンパクト多様体の内部に同相であることを確立すること。
• 射影表現を用いてサタケコンパクト化を一般化し、関手的性質を備えた一般化されたサタケコンパクト化を定義すること。
• コンパクト商を超えた広範な設定において、不連続領域を構成すること。

提案手法

• 射影表現 τ: G → SL(n,C) で τ(K) ⊂ PSU(n) を満たすものにより、一般化されたサタケコンパクト化を定義し、gK ↦ R(τ(g)τ(g)*) を用いて X = G/K を射影空間に埋め込む。
• この像の閉包を射影空間内でとる。これが一般化されたサタケコンパクト化であり、完全測地的部分空間と整合性を持つ。
• X の一般化されたサタケコンパクト化から「悪い集合」N を除去することで、ρ(Γ)\X のコンパクト化を構成し、G-不変性とオルビフォールド構造を保つ。
• 一般化されたサタケコンパクト化が最大のサタケコンパクト化を支配するならば、それは角を持つ多様体であることを証明し、商空間のオルビフォールド・コンパクト化構造を可能にする。
• イワサワ分解とカタン分解を用いて局所微分同相性の性質を示し、コンパクト化写像の局所的単射性および全射性を確立する。
• 一般化されたサタケコンパクト化の関手的性質を用いる：X 内の完全測地的部分対称空間 Y ⊂ X の閉包は、Y の一般化されたサタケコンパクト化である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ρ がアノソフ表現であり、商が無限体積をもつとき、Riemann 局所対称空間 ρ(Γ)\X に対してコンパクト化を構成できるか？
• RQ2 これらのコンパクト化は位相的きめ細かさをもたらすか？すなわち、商は境界を持つコンパクト多様体の内部に同相か？
• RQ3 コンパクト化は X の最大のサタケコンパクト化に基づいて構築可能か？また、そのような条件はパラボリック部分群 P に対してどのようなものか？
• RQ4 一般化されたサタケコンパクト化の構成は、完全測地的部分空間への制限において関手的性質を保つか？
• RQ5 『悪い集合』N は構成においてどのような役割を果たし、その除去が商の良好なコンパクト化をもたらすか？

主な発見

• 商空間 ρ(Γ)\X は、角を持つオルビフォールドであるコンパクト化を備え、X の一般化されたサタケコンパクト化に基づく局所モデルを持つ。
• 任意の P-アノソフ表現（P が最大の真部分パラボリック部分群）に対して、商 ρ(Γ)\X は X の最大のサタケコンパクト化に基づくコンパクト化を備える。
• 一般化されたサタケコンパクト化は関手的性質を満たす：X 内の完全測地的部分対称空間 Y ⊂ X の閉包は、そのコンパクト化において Y の一般化されたサタケコンパクト化である。
• 一般化されたサタケコンパクト化が最大のサタケコンパクト化を支配するならば、それは角を持つ多様体であり、コンパクト化された商のオルビフォールド・コンパクト化構造を支える。
• 直交群およびユニタリ群に対しても適用可能であり、O(b) や O(b_C) への表現に対して、最小のサタケコンパクト化に基づくコンパクト化が得られる。
• コンパクト化は、X の一般化されたサタケコンパクト化から「悪い集合」N を除去することで得られ、商が良好な位相およびオルビフォールド構造を備えることを保証する。