[論文レビュー] Another approach to some rough and stochastic partial differential equations

Josef Teichmann|ArXiv.org|Aug 19, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Banach空間におけるroughおよびstochastic偏微分方程式（RPDE/SPDE）を解くための新規手法「移動座標枠法（method of the moving frame）」を提案する。時間に依存する変換を適用することで、元の問題を時間に依存するrough微分方程式（RDE）に還元する。主な貢献は、一般の群生成子およびLipschitz条件のもとで一意なmild解の構成であり、rough path理論を用いて高次精度の数値スキームの構築を可能にする。

ABSTRACT

In this note we introduce a new approach to rough and stochastic partial differential equations (RPDEs and SPDEs): we consider general Banach spaces as state spaces and -- for the sake of simiplicity -- finite dimensional sources of noise, either rough or stochastic. By means of a time-dependent transformation of state space and rough path theory we are able to construct unique solutions of the respective R- and SPDEs. As a consequence of our construction we can apply the pool of results of rough path theory, in particular we obtain strong and weak numerical schemes of high order converging to the solution process.

研究の動機と目的

• 無限次元Banach空間におけるroughおよびstochastic偏微分方程式（RPDE/SPDE）のための新しい解法理論の構築を目的とする。
• 時間に依存する座標系への変換により、SPDEにおける正則性および積分の困難さを克服することを目的とする。
• unboundedな生成子および非Hilbert空間を有する状態空間に対して、rough path理論の適用範囲を拡張することを目的とする。
• 収益曲線の空間における重み付きW^{1,1}やC_0ノルムといった経済的に意味のある位相と整合性を持つフレームワークを提供することを目的とする。
• 時間に依存するRDEへの還元を通じて、高次精度のstrongおよびweakな数値スキームを可能とすることを目的とする。

提案手法

• 本手法は、時間に依存する微分同相写像（「移動座標枠」）を用い、元のRPDE/SPDEを変換されたベクトル場を有する時間に依存するRDEに変換する。
• 変換は、Banach空間W上で強連続群を生成するunboundedな漂移作用素Aのフローに依存する。
• 解は、Y_t = Fl_t(U_t) として構成され、U_tは次式の変換されたRDEを満たす：dU_t = Σ_i DFl_{-t}f_i(Fl_t(U_t)) dX^i_t。
• 変換された方程式はrough path理論を用いて解かれ、[0,T] × W 上で変換されたベクトル場のLipschitz正則性に依存する。
• 本手法はuniversal limit定理とpiecewise linear近似の収束を活用し、確率的場合におけるStratonovich型積分への収束を確立する。
• 数値スキームは、標準的なrough path近似から導出され、Wong-Zakai型収束および明示的な収束率を有するN-Eulerスキームを含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 stochastic積分に依存せずに、Banach空間におけるSPDEに対して経路に沿った解法理論を構築可能か？
• RQ2 半群の生成子を群として扱うことで、無限次元における時間反転変換を可能とするにはどうすればよいか？
• RQ3 unboundedな線形作用素および非Hilbert状態空間を有するSPDEに対して、rough path理論をどの程度適用可能か？
• RQ4 本手法により、幾何的ノイズおよび非マルコフ構造を有するSPDEに対して高次精度の数値スキームを構築可能か？
• RQ5 ブラウン運動ノイズの場合に、移動座標枠アプローチは既知のStratonovich型解を回復するか？

主な発見

• AがBanach空間W上で強連続群を生成し、fがγ > 2のLip(γ)条件を満たすとき、dY_t = AY_t dt + f(Y_t) dX_t の形をしたRPDEに対して一意なmild解が存在する。
• 解Y_tは移動座標枠変換を用いてY_t = Fl_t(U_t) として構成され、U_tは変換されたベクトル場を有する時間に依存するRDEを満たす。
• ブラウン運動ノイズの場合、解はStratonovich積分の定式化と一致する：l(Y_t) = l(P_t Y_0) + ∑_{i=0}^d ∫_0^t l(P_{t-s} f_i(Y_s)) ∘ dB^i_s。
• ブラウン運動のpiecewise linear近似がrough path極限に収束することにより、確率的場合における解がStratonovich解と一致することが保証される。
• N-Euler近似およびWong-Zakai型収束を用いた高次精度のstrong数値スキームが、p-variationノルムにおける明示的な収束率とともに得られる。
• 立方則に基づくweak数値スキームが確立され、既知の収束率を有する。Gaussian rough pathへの拡張も可能である。